Newtonov polynóm

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Newtonov interpolačný polynóm alebo presnejšie interpolačný polynóm v Newtonovom tvare alebo skrátene len Newtonov polynóm je v numerickej matematike polynóm pomenovaný podľa Isaaca Newtona interpolujúci danú množinu bodov, ktorý má špecifický tvar, nazývaný Newtonov tvar.

Jedna zo základných viet teórie interpolácie hovorí, že interpolačný polynóm, pre daný stupeň polynómu a danú množinu interpolačných uzlov, je len jeden. Z toho vyplýva, že Newtonov interpolačný polynóm a napr. Lagrangeov interpolačný polynóm udávajú pre rovnaký stupeň rovnakú polynomiálnu funkciu a líšia sa len spôsobom jej zápisu - Newtonov polynóm využíva zápis v Newtonovom tvare, kým Lagrangeov polynóm zas zápis v Lagrangeovom tvare.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je daná množina k + 1 bodov

kde žiadne dve hodnoty nie sú rovnaké. Potom Newtonov polynóm stupňa k interpolujúci danú množinu bodov má tvar lineárnej kombinácie tzv. Newtonových bázových polynómov , teda

kde Newtonove bázové polynómy majú tvar

V ďalšom procese hľadania vyjadrenia Newtonovho interpolačného polynómu je podstatné vyjadriť koeficienty tak, aby polynóm skutočne interpoloval danú množinu bodov.

Označme preto polynóm stupňa n-1 interpolujúci body a polynóm stupňa n-1 interpolujúci body . Teda platí

Ľahko je možné overiť, že polynóm

je interpolačný polynóm pre danú množinu n+1 bodov. Označme teraz

tak platí

Ak navyše položíme dostávame vzťah pre výpočet koeficientov Newtonovho interpolačného polynómu, ktoré je tak možné efektívne vypočítať technikou dynamického programovania.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]