Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica -tého rádu je rovnica tvaru

kde funkcie sú zadané. Špeciálnym prípadom takej rovnice je lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu (ODR). Ľavá strana tejto diferenciálnej rovnice sa zvykne značiť takto

a priradenie voláme lineárny diferenciálny operátor n-tého rádu. V prípade, že hovoríme o homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici.

Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami[upraviť | upraviť zdroj]

Ide o rovnicu

ktorej koeficienty sú konštanty. Už Euler si všimol, že exponenciálna funkcia s vhodným je riešením tejto rovnice. Dosadením do rovnice dostaneme podmienku na číslo , ktorú voláme charakteristická rovnica

čo je algebrická rovnica stupňa , ktorá má podľa základnej vety algebry práve koreňov ak počítame aj ich násobnosť. Rozoznávame dva prípady:

  • ak sú korene charakteristickej rovnice jednoduché, tak týmto postupom získame lineárne nezávislých riešení
  • ak je niektorý koreň charakteristickej rovnice -násobný, tak potom funkcie (je to lineárne nezávislých funkcií) sú riešením diferenciálnej rovnice.

V každom prípade takto získame práve lineárne nezávislých riešení homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice -tého rádu s konštantnými koeficientami.

Ak sú koeficienty reálne čísla, tak spolu s koreňom má charakteristická rovnica aj koreň komplexne združený . V tomto prípade z koreňov máme 2 reálne funkcie

kde V prípade, že uvedený koreň je viacnásobný, tak sa pridávajú násobky trigonometrických funkcií mocninou nezávisle premennej.