Parciálna diferenciálna rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Parciálna diferenciálna rovnica je v matematike rovnica obsahujúca neznámu funkciu niekoľkých nezávisle premenných a jej parciálne derivácie podľa týchto premenných. Najvyšší z rádov parciálnych derivácii vyskytujúcich sa v rovnici sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Parciálne diferenciálne rovnice sú zovšeobecnením obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré obsahujú neznámu funkciu jednej premennej a jej derivácie. Každá obyčajná diferenciálna rovnica je súčasne aj parciálnou diferenciálnou rovnicou.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Parciálna diferenciálna rovnica je matematická rovnica tvaru

kde je neznáma funkcia n premenných. Číslo k sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Elementárny príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Uvažujme parciálnu diferenciálnu rovnicu

Zjavne, riešením tejto rovnice sú všetky funkcie nezávislé od x, preto možno všeobecné riešenie zapísať ako

kde f je ľubovoľná funkcia o jednej premennej. Uvedená rovnica je analógiou obyčajnej diferenciálnej rovnice

ktorej riešením je ľubovoľná konštanta c (nezávislá od x).

Rovnica vedenia tepla[upraviť | upraviť zdroj]

Dôležitým príkladom parciálnej diferenciálnej rovnice je rovnica vedenia tepla, ktorá opisuje šírenie tepla v telesách v závislosti od času. Pre funkciu kde vyjadruje polohu bodu v priestore a t udáva čas, má rovnica vedenia tepla tvar

kde je konštanta.

Vlnová rovnica[upraviť | upraviť zdroj]

Vlnová rovnica je parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu, ktorá sa využíva na opis vlnenia (akustického, mechanického, elektromagnetického, atď.).

Vo všeobecnosti ide o typ rovnice, ktorá sa dá vyjadriť v tvare

kde c je konštanta.

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Evans, L. C.: Partial Differential Equations. Springer, 2010.
  • Farlow, S. J.: Partial differential equations for scientists and engineers. Dover, 1993.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]