Poradie aritmetických operácií

Poradie aritmetických operácií je v matematike súbor pravidiel, ktoré vychádzajú z celosvetovej konvencie týkajúcej sa toho, ktoré operácie majú prednosť pred inými, aby sa vyhodnotil (vypočítal) matematický výraz. Tieto pravidlá prešli dlhým a zložitým historickým vývojom a ani v súčasnosti nie sú mnohé pravidlá ustálené.^[1] Používa sa aj výraz priorita alebo precedencia.

Precedencia je predmetom vzájomnej dohody a nedá sa matematicky odvodiť ani dokázať.

Poradie aritmetických operácií je rozdelené do štyroch základných krokov^[2]^[3] zoradených od operácií s najvyššou prioritou po operácie s najnižšou prioritou:

(1.) Zátvorkové konštrukcie.
(2.) Exponenty a funkcie všeobecne.
(3.) Násobenie a delenie.
(4.) Sčítanie a odčítanie.

Napríklad vyhodnotenie nasledujúceho výrazu má tieto poradia:

$\overbrace {2+\overbrace {28\times \overbrace {(3-1)} ^{1.krok}} ^{3.krok}+\overbrace {4^{2}} ^{2.krok}} ^{4.krok}$ .

Zátvorkové konštrukcie

Pokiaľ matematický výraz obsahuje zátvorky tak výraz v zátvorkách má vo vyhodnocovaní prednosť podľa tu uvedených pravidiel. Ak sú vo výraze viaceré vnorené zátvorkové konštrukcie tak sa postupuje od najvnútornejších po najvonkajšie. Napríklad

$\overbrace {(\overbrace {(\overbrace {(1-2)} ^{1.krok}\times \overbrace {(8+1)} ^{1.krok})} ^{2.krok}/2)} ^{3.krok}$ .

V cudzojazyčnej literatúre je možné sa stretnúť pri vnorených zátvorkách s použitím rôznych druhov zátvoriek. Vyššie uvedený príklad môže byť zapísaný aj ako ${\textstyle \{[(1-2)\times (8+1)]/2\}}$ . Typ zátvoriek však nemá vplyv na poradie vyhodnocovania.

Konvencia hovorí, že ak sa vo výraze nachádza zlomok, tak sa k nemu pristupuje ako k výrazu v zátvorkách. Napríklad:

${\frac {5}{4}}\div 8=\left({\frac {5}{4}}\right)\div 8$ .

K čitateľovi a menovateli v zlomku sa pristupuje ako k výrazu v zátvorkách. Napríklad:

${\frac {5+9}{4-8}}={\frac {(5+9)}{(4-8)}}$ .

Je prípustné, že sa pred zátvorkou vynecháva znak pre násobenie. Napríklad

$5(6\div 4)=5\times (6\div 4)=7.5$ .

Platí zlaté pravidlo, že v prípade nejednoznačnosti alebo v prípade, že je nutné porušiť konvenciu priorít netreba zátvorkami šetriť.

Exponenty a funkcie všeobecne

Medzi operácie, ktoré sa vyhodnocujú ako prvé (s prihliadnutím na pravidlá zátvorkových konštrukcií) patria predovšetkým

mocniny
odmocniny
faktoriály, goniometrické/cyklometrické funkcie, logaritmy atď.
sumačné a produktové iterácie

Násobenie a delenie

Násobenie a delenie majú rovnakú prioritu nakoľko tu platí asociatívny zákon a majú prednosť pred sčítaním a odčítaním. Pokiaľ nie je výraz spresnený zátvorkami tak sa postupuje zľava doprava.

${\begin{aligned}(2\times 3)\div 4=6\div 4&=1.5\\2\times (3\div 4)=2\times 0.75&=1.5\\2\times 3\div 4&=1.5\\\end{aligned}}$ .

Delenie je možné pokladať za násobenie prevrátenou hodnotou. Napríklad.

$8\div 4=8\times \left({\frac {1}{4}}\right)=8\times 0.25=2$ .

Sčítanie a odčítanie

Analogicky platí to, čo pre násobenie a delenie:

${\begin{aligned}(2+3)-4=5-4&=1\\2+(3-4)=2+(-1)&=1\\2+3-4&=1\\\end{aligned}}$ .

Odčítanie je možné pokladať za sčítanie so záporným číslom. Napríklad:

$7-3=7-(+3)=7+(-3)=4$ .

Referencie

↑ ČIŽMÁR, Ján. Dejiny matematiky. [s.l.] : Perfekt, a. s., 2020. ISBN 978-80-8046-986-3.
↑ DAINES, Ramon. LibGuides: Math Resources: Order of Operations [online]. resources.nu.edu, [cit. 2025-02-05]. Dostupné online. (po anglicky)
↑ MATHNASIUM. The Order of Operations in Math — A Kid-Friendly Guide [online]. www.mathnasium.com, [cit. 2025-02-05]. Dostupné online. (po anglicky)

Pozri aj

[1] ČIŽMÁR, Ján. Dejiny matematiky. [s.l.] : Perfekt, a. s., 2020. ISBN 978-80-8046-986-3.

[2] DAINES, Ramon. LibGuides: Math Resources: Order of Operations [online]. resources.nu.edu, [cit. 2025-02-05]. Dostupné online. (po anglicky)

[3] MATHNASIUM. The Order of Operations in Math — A Kid-Friendly Guide [online]. www.mathnasium.com, [cit. 2025-02-05]. Dostupné online. (po anglicky)

[1]

[2]

[3]