Rýchlosť (fyzikálna veličina)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Rýchlosť (iné názvy: vektor rýchlosti, okamžitá rýchlosť, vektor okamžitej rýchlosti, ďalšie synonymá pozri nižšie v článku; značka obyčajne v) je zmena polohového vektora (čiže jednoducho celková zmena polohy) za veľmi krátky časový interval (t.j. v = dr/dt); ide o vektorovú veličinu.

Veľkosť takto definovanej rýchlosti (nie však rýchlosť samotná) je rovná aj zmene dĺžky dráhy za veľmi krátky časový interval (t.j. |v|=ds/dt), pretože pre veľmi krátke časové intervaly (nie však pre normálne časové intervaly) zaniká rozdiel medzi veľkosťou zmeny polohového vektora a zmenou dĺžky dráhy (čiže |dr|=ds). Rozdiel medzi zmenou polohového vektora a zmenou dĺžky dráhy spočíva v tom, že kým zmena polohového vektora (nazývaná aj posunutie) udáva najkratšiu vzdušnú “vzdialenosť” medzi začiatočným a koncovým bodom pohybu, zmena dĺžky dráhy udáva dĺžku celého fyzicky prejdeného úseku (často kľukatej) “cesty” medzi začiatočným a koncovým bodom pohybu.

V literatúre sa nepresne alebo zjednodušene pojem rýchlosť niekedy definuje inak (pričom potom ale spravidla neplatia vyššie uvedené synonymá “vektor rýchlosti”, “okamžitá rýchlosť” atď., ani značka v, a často ani nejde o vektorovú veličinu), a to napríklad ako synonymum priemernej dráhovej rýchlosti (t.j. zmena dĺžky dráhy za iný než veľmi krátky časový interval, čiže Δs/Δt) alebo ako synonymum okamžitej dráhovej rýchlosti (t.j. ds/dt, čo je zároveň, ako už bolo spomenuté vyššie, rovné |v|). Podrobnejšie o definícii a vzorci rýchlosti pozri nižšie.

Definícia rýchlosti[upraviť | upraviť zdroj]

Význam a vysvetlenie značiek uvedených v tomto podnadpise pozri pod nasledujúcim podnadpisom.

Slovo rýchlosť (bez ďalších prívlastkov) môže znamenať:

  • skôr neodborne (v bežnej reči, nepresne, v učebniciach pre deti a pod.):
    • vd,p [28]:18-42,52-53[16]:29-32[6]:52-54[29]:1-9
    • vd [15][30][31]:48-55[18]:34-37,43[4]:29-37[5]:3-7
    • veľkosť rýchlosti (t.j.súhrnné označenie pre vd,p v podobe Δsa/Δt, vd (=|v|) v podobe dsa/dt a prípadne aj |vp|), pričom vd,p a vd sa zvykne uvádzať vo formulácii „pomer prejdenej dráhy a príslušného času“, „zmena dráhy za príslušný čas“, „dráha ubehnutá za jednotku času“ a pod.[30][32]:4-6[33]:8-16[34]:k.7-8[35][10]:14-60[6]:52-54[14]:43-44[36]
  • zriedkavo:
    • pomer zmeny dĺžky a príslušného času (t.j. Δl/Δt resp. l/t, pričom dĺžka l je veličina SI) [37]:172[38]:9
    • súhrnné označenie pre vd,p a v [39]:34-35

O významoch výrazu rýchlosť v spojeniach s prívlastkami pozri pod nasledujúcim podnadpisom.

Základné vzorce[upraviť | upraviť zdroj]

Tu sú uvedené základné štyri vzorce, ktoré sa v literatúre vyskytujú v súvislosti s rýchlosťou, s ich rôznymi názvami v literatúre a poznámkami. Vysvetlivky značiek zo vzorcov sú uvedené dole pod názvom Vysvetlivky značiek použitých vo vyššie uvedených vzorcoch.

Vzorec Opis vzorca Názvy v literatúre (zoradené od dlhších po kratšie) Značky Súvislosti vzorca
vd,p =Δs/Δt Udáva pomer zmeny s (t.j. dĺžky dráhy resp. krivočiarej súradnice – pozri poznámka 2) k časovému intervalu, počas ktorého táto zmena nastala. [29]:1-9[3]:7-12
  • stredná (alebo priemerná) dráhová rýchlosť, stredná (alebo priemerná) rýchlosť v dráhe,
  • stredná (alebo priemerná) skalárna rýchlosť, skalárna stredná (alebo priemerná) rýchlosť,
  • stredná (alebo priemerná) veľkosť rýchlosti, veľkosť strednej (alebo priemernej) rýchlosti,
  • absolútna hodnota strednej (alebo priemernej) rýchlosti,
  • veľkosť rýchlosti,
  • stredná (alebo priemerná) rýchlosť,
  • rýchlosť.

Z toho najčastejšie sú názvy stredná (alebo priemerná) rýchlosť a rýchlosť.[3]:7-12[40]:11-37[34]:k.7-8[4]:29-37[41]:F2-3 až F2-5[10]:14-60 [42]:30-34,67 [43][2]:38-41[23]:15-17[8]:1-38[13]:18-21[44]:25-75[12]:34-38[30][6]:52-54[45]:k.2.1[7]:6-8[29]:1-9[24]:48-51[46]:11[19]:556,624[20]:341,410[47]:28-31[48] :k.16,17[49]:5-10[50]:5-8[51]:2-5[22]:34-36[17]:40-41[28]:18-42,52-53[52]:32-36[16]:29-32

V tomto článku sa používa značka vd,p. V literatúre sa používajú značky <vd>, <v>, |<v>|, vst(Δt), vs ,vp , v̅p ,v̅, v(d)s, v12 alebo v. [3]:7-12[17]:40-41[42]:30-34,67[2]:38-41[50]:5-8[53]:k.2.1.2 [28]:18-42,52-53[4]:29-37 [49]:5-10[13]:18-21[22]:34-36[29]:1-9 (úmyselne prázdne)
vd =ds/dt Udáva prvú deriváciu s (t.j. dĺžky dráhy resp. krivočiarej súradnice – pozri poznámka 2) podľa času, alebo inak povedané vd,p pre infinitezimálne krátky časový interval (ds/dt = limΔt→0 (Δs/Δt)). Udáva teda hodnotu Δs/Δt v jednom okamihu. [3]:7-12[8]:1-38[22]:34-36
  • okamžitá dráhová rýchlosť, okamžitá rýchlosť v dráhe, okamžitá hodnota dráhovej rýchlosti,
  • okamžitá skalárna rýchlosť, skalárna okamžitá rýchlosť,
  • dráhová rýchlosť v čase (či okamihu) t1,
  • dráhová rýchlosť,
  • skalárna rýchlosť,
  • okamžitá rýchlosť,
  • rýchlosť.

Z toho najčastejšie sú názvy okamžitá rýchlosť a rýchlosť. [3]:7-12[54]:11-37

[34]:k.7-8[4]:29-37[2]:38-41[23]:15-17[8]:1-38[13]:18-21[44]:25-75[30][29]:1-9[27]:k.3 (1-8) [55]:5-8, 32[15] [18]:34-37,43 [5]:3-7[41]:F2-3 až F2-5[48]:k.16,17[17]:40-41

Vzhľadom na vd=(+/-)|v| sú relevantné aj názvy pre |v|. Názvy pre |v| sa tvoria spojením výrazu „veľkosť“ alebo „absolútna hodnota“ s názvom pre v , čiže dostaneme názvy: veľkosť (alebo absolútna hodnota) (vektora) rýchlosti, veľkosť (alebo absolútna hodnota) (vektora) okamžitej rýchlosti a pod.; ďalšie názvy pre |v| sú okamžitá veľkosť rýchlosti a zriedkavo tempo. [3]:7-12[54]:11-37[4]:29-37[8]:1-38[13]:18-21[29]:1-9 [5]:3-7[41]:F2-3 až F2-5[42]:30-34,67[7]:6-8[52]:32-36[16]:29-32[10]:14-60 [6]:52-54[20]:341,410[51]:2-5[50]:5-8[12]:34-38[47]:28-31[56][57][58]:25,139-140,328[22]:34-36

Dráhová rýchlosť (rýchlosť v dráhe) môže byť aj súhrnný názov pre vd,p a vd [2]:38-41[23]:15-17

V tomto článku sa používa značka vd. V literatúre sa používajú značky vd(ti), v(t), v(t1), v*s , v alebo (najčastejšie) v, pričom v (resp. v) je tu myslené ako znak veľkosti vektora v (čiže |v|). [3]:7-12[17]:40-41[2]:38-41[23]:15-17[53]:k.2.1.2 [4]:29-37[49]:5-10[13]:18-21[22]:34-36[29]:1-9[8]:1-38[12]:34-38 =|v|= |dr/dt|=

= v/τ = (dr/dt)/τ = (dx/dt, dy/dt, dz/dt, ...)/τ = ((dx/dt).i + (dy/dt).j + (dz/dt).k +... )/τ
=

vp = Δr/Δt Udáva pomer zmeny polohového vektora k časovému intervalu, počas ktorého táto zmena nastala.[3]:7-12[8]:1-38
  • vektor strednej (alebo priemernej) rýchlosti, vektorová stredná (alebo priemerná) rýchlosť, stredná (alebo priemerná) vektorová rýchlosť,
  • stredná rýchlosť v intervale <t1,t2>,
  • stredná (alebo priemerná) rýchlosť,
  • rýchlosť posunutia

Z toho najčastejší je názov stredná (alebo priemerná) rýchlosť. Názov rýchlosť posunutia je veľmi zriedkavý.[3]:7-12[54]:11-37[4]:29-37[10]:14-60[42]:30-34,67[23]:15-17[13]:18-21[44]:25-75[24]:48-51[47]:28-31[48] :k.16,17[5]:3-7[27]:k.3 (1-8)[49]:5-10[59]:9-15[60]:170,333-334[28]:18-42,52-53

V tomto článku sa používa značka vp. V literatúre sa používajú značky <v>, vst(Δt), v(t1,t2), vs, vp, vav alebo v̅.

[3]:7-12[23]:15-17[15][5]:3-7[4]:29-37[13]:18-21[60]:170,333/334[49]:5-10[10]:14-60

= (Δx, Δy, Δz…)/Δt = (Δx/Δt, Δy/Δt, Δz/Δt…)

=Δ(x.i + y.j + z.k ...)/ Δt = (Δx/Δt).i + (Δy/Δt).j + (Δz/Δt).k +...

v = dr/dt Udáva prvú deriváciu polohového vektora podľa času, alebo inak povedané vp pre infinitezimálne krátky časový interval (dr/dt = limΔt→0r/Δt)). Udáva teda hodnotu Δr/Δt v jednom okamihu. [3]:7-12[8]:1-38[22]:34-36[13]:18-21. V grafe, na ktorého osiach sú nanesené karteziánske pravoúhle súradnice, má v smer dotyčnice ku trajektórii [23]:16.
  • vektor okamžitej rýchlosti, vektorová okamžitá rýchlosť, okamžitá vektorová rýchlosť, vektor rýchlosti v okamihu t1,
  • vektor rýchlosti, vektorová rýchlosť,
  • okamžitá rýchlosť, rýchlosť v danom časovom okamihu, rýchlosť v okamihu t1,
  • rýchlosť.

Z toho najčastejšie sú názvy rýchlosť a okamžitá rýchlosť. O názvoch veľkosti v (t.j. |v|) pozri aj komentár v stĺpci Názvy pre vd. [3]:7-12[54]:11-37[4]:29-37[41]:F2-3 až F2-5[10]:14-60[42]:30-34,67 [2]:38-41[23]:15-17[8]:1-38[13]:18-21[44]:25-75[12]:34-38[30][6]:52-54[7]:6-8[29]:1-9[24]:48-51[46]:11[19]:556,624[20]:341,410 [47]:28-31[49]:5-10[50]:5-8[51]:2-5[22]:34-36[1]:2,6[5]:3-7[9]:7[55] :5-8,32[27]:k.3 (1-8)[11]:113,161[14]:43-44[58]:25,139-140,328[18]:34-37,43[15][59]:9-15[17]:40-41[60]:170,333/334[52]:32-36[16]:29-32[28]:18-42,52-53[61]:1,9
Vektor rýchlosti môže byť aj súhrnný názov pre vp a v. [23]:15-17

V tomto článku sa používa značka v. V literatúre sa používajú značky v(ti), v(t), v(t1), alebo (zďaleka najčastejšie) v. [3]:7-12[23]:15-17[2]:38-41 [42]:30-34,67[8]:1-38[5]:3-7[4]:29-37 [13]:18-21[17]:40-41[49]:5-10[10]:14-60[58]:328 = (dx, dy, dz...)/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt, ...)

= d(x.i + y.j + z.k ...)/dt = (dx/dt).i + (dy/dt).j + (dz/dt).k +...
= vd.τ = (ds/dt).τ = ds.τ/dt
=

Poznámky k tabuľke[upraviť | upraviť zdroj]

1. Hlavná definícia rýchlosti, teda rýchlosť v pravom slova zmysle, je vzorec v. Vyplýva to z príslušnej normy ISO 80000 a veľkej väčšiny odborných zdrojov, kde sa výrazom “rýchlosť” označuje špeciálne tento vzorec. [62]

2. O dvoch spôsoboch definovania s:
Značku s použitú vo vyššie uvedených vzorcoch sa možno pri bližšom pohľade definovať dvoma odlišnými spôsobmi (a tým pádom z jedného vzorca pre rýchlosť obsahujúceho sfakticky dostaneme dva rôzne vzorce):

  • a) Jedna možnosť je definovať „s“ ako dĺžku spojitej čiary, ktorú daný hmotný bod opisuje, od začiatočného bodu pohybu. Takto definované „s“ bude vždy kladné. Ak sa hmotný bod pohybuje vpred, toto „s“ pochopiteľne stúpa (čiže Δs resp. ds je kladné), ale „s“ stúpa aj vtedy, ak sa hmotný bod pohybuje vzad. Toto „s“ sa označuje ako dĺžka (či veľkosť) dráhy či dráha a ide o základnú, najbežnejšiu definíciu „s“ vyučovanú na nižších školách.
  • b) Druhá možnosť je definovať „s“ ako krivočiaru súradnicu (iné názvy: jednorozmerná (polohová) súradnica s, dráhová súradnica, dĺžka oblúka, dĺžka (či veľkosť) dráhy/dráha), teda ide o jednorozmernú polohovú súradnicu na krivke pohybu daného hmotného bodu, čiže počet jednotiek meraných pozdĺž krivky pohybu od počiatku krivočiarej súradnicovej sústavy (teda od bodu s=0). Zjednodušene povedané sme tu teda vlastne klasickú súradnicovú sústavu zredukovali na len jednu os - (napr.) os x, túto os x sme „prilepili“ (respektíve „premenili“) na krivku pohybu a „x“ sme premenovali na „s“. Na rozdiel od „s“ podľa možnosti a), takto definované „s“ môže byť aj záporné (napriek slovu „dĺžka“ či „veľkosť“ v niektorých názvoch tohto „s“). Ak sa hmotný bod pohybuje vpred (čiže Δs resp. ds je kladné), toto „s“ stúpa, ak sa pohybuje vzad, toto „s“ klesá (čiže Δs resp. ds je záporné). Toto „s“ sa v literatúre značí aj písmenom u.

Z toho vyplýva (vysvetlivky: a znamená „podľa možnosti a“, b znamená „podľa možnosti b“):

  • Ak sa hmotný bod pohybuje stále len s jednou orientáciou (teda buď stále len vpred alebo stále len vzad), tak Δsa = |Δsb|, a ak je navyše začiatočný bod pohybu zhodný s počiatkom krivočiarej súradnicovej sústavy , tak platí aj sa = |sb|.
  • Vždy platí, že Δsa dostaneme z Δsb tak, že v možnosti b) celý pohyb rozdelíme na jednotlivé časti (úseky), v rámci ktorých sa pohyb uskutočňuje vždy len s jednou orientáciou (teda buď stále len vpred alebo stále len vzad), a následne sčítame absolútne hodnoty všetkých týchto úsekov. Formálne teda vždy platí Δsa =|Δsb,1|+|Δsb,2|+…+|Δsb,n|, kde sb,i znamená krivočiaru súradnicu týkajúcu sa úseku i (=1 až n), v rámci ktorého sa pohyb uskutočňuje len s jednou orientáciou. [5]:3-7[8]:1-38[3]:7-12[54]:11-37[2]:38-41[18]:34-37,43[29]:1-9[59]:9-15 [63][12]:34-38

Pre úplnosť treba dodať, že existuje ešte kvázi tretia možnosť pre význam značky „s“: Ojedinele sa totiž symbolom Δs či Δs (resp. pre „celkový“ pohyb s či s) - a niekedy dokonca aj verbálne výrazom “(prejdená) dráha” a pod. – nevhodne označuje posunutie (teda Δr). Podobná ale trochu odlišná, je tu situácia pri infinitezimálnych zmenách (teda d namiesto Δ). Aj tu sa možno stretnúť aj so zápisom v podobe ds, ktorá vlastne znamená dr. Vzhľadom na to, že (pozri nižšie) platí dr = ds. τ (resp. dr =|dsb|. τ), tak sa pre nevhodnú značku ds dá uviesť aspoň aké-také opodstatnenie, a síce také, že ds je len iný zápis pre výraz ds. τ (pri zápis Δs takéto opodstatnenie uviesť nemožno). [64][65][44]:25-75[66]:27,28[67]:98[68]:66-69[29]:1-9

3. O vzťahu medzi r a s:
Je dôležité si uvedomiť, že kým medzi Δs a Δr je veľký rozdiel, medzi ds a dr je rozdiel minimálny:

  • Kým Δs sa meria pozdĺž krivky pohybu so všetkými jej záhybmi a otočkami, Δr je len najkratšia (čiže priamočiara) spojnica medzi začiatočným a koncovým bodom pohybu. vd,p teda udáva rýchlosť zmeny dĺžky dráhy hmotného bodu, kým vp udáva rýchlosť celkovej zmeny polohy hmotného bodu. Výnimku tvorí priamočiary pohyb, pretože pri ňom má Δr a Δs rovnakú veľkosť (|Δr|=Δs, resp. |Δr| = |Δsb|) aj smer, majú však (ak pracujeme s sb) prípadne rozdielnu orientáciu a samozrejme platí aj to, že kým Δrsa zapisuje ako vektor, Δs sa zapisuje ako skalár. Celkovo teda platí: Δr = Δs.τ (resp. Δr = |Δsb|.τ)[48]:k. 16[45]:k.2.1[8]:23[5]:3-7[49]:8-9, pričom ak stanovíme sb,0 =0 a pohybujeme sa len v kladnom smere „číslovania“ trajektórie (čiže sb je kladné), tak dostaneme Δr = sb.τ.
  • Pri ds a dr platí to isté, čo pri Δs a Δr pre priamočiary pohyb, čiže medzi dr (značeným aj ds či dl) a ds je rozdiel malý, lebo majú rovnakú veľkosť (|dr| = ds, resp. |dr| = |dsb|) aj smer, majú však (ak pracujeme s sb) prípadne rozdielnu orientáciu a samozrejme platí aj to, že kým dr sa zapisuje ako vektor, ds sa zapisuje ako skalár. Celkovo teda platí a platí dr = ds. τ (resp. dr =|dsb|. τ) [29]:1-9[22]:36.

Súhrnne teda možno konštatovať, že medzi s a r je v zásade značný rozdiel a nie je možné uviesť všeobecný vzorec, ktorý ich spája. Výnimku tvoria nasledujúce špeciálne prípady, v ktorých takýto všeobecný spájajúci vzorec možno uviesť:

  • pre priamočiary pohyb: Δr = |Δsb|.τ, čiže r = r0 + |sb-sb,0|.τ. Ak stanovíme sb,0 =0 a pohybujeme sa len v kladnom smere „číslovania“ trajektórie (čiže sb je kladné), tak dostaneme Δr = sb.τ, čiže r = r0 + sb.τ.
  • pre veľmi krátke časové intervaly: dr=|dsb|.τ

Istá (zložitejšia) súvislosť medzi s a r sa dá uviesť aj pre rovnomerný pohyb: |dr|/dt (= |dsb|/dt) = |Δsb|/Δt

4. Z predchádzajúcich dvoch poznámok vyplýva, že vo vzorci pre v a |v| treba vykonať nasledujúce spresnenie: Keďže |dr|=|dsb|=dsa (Poznámka: Pre infinitezimálne malé zmeny (?vždy) platí |dsb|=dsa, teda pohyb má za ten veľmi krátky čas maximálne jednu orientáciu, čiže sa ide stále len vpred alebo stálen len vzad), tak:

  • |v|= |dr/dt|=|dsb/dt|= dsa/dt (resp. |v|= |dr|/dt = |dsb|/dt = dsa/dt)
  • v =|v|.τ= |dr/dt|.τ = |dsb/dt|.τ = (dsa/dt). τ (resp. v =|dr|.τ /dt = |dsb|.τ /dt = dsa.τ/dt [5]:3-7[8]:1-38

5. K vzorcu vd,p :
V menej náročnej literatúre sa niekedy formálne rozlišuje podľa zohľadneného rozsahu trajektórie hmotného bodu:

  • vzorec pre úsek (teda len časť) trajektórie: Δs/Δt (Vzorec pre úsek trajektórie sa obyčajne používa, ak sa rýchlosť počas pohybu mení a chceme pohyb rozdeliť na úseky majúce konštantnú rýchlosť)
  • vzorec pre celkovú trajektóriu: Ten sa zapisuje
    • ako s/t (Zápis Δs/Δt sa matematicky zredukuje na zápis s/t, ak pohyb začína v bode, kde s=0 a t=0, teda ak sledujeme trajektóriu od jej úplného začiatku a začiatočný čas stanovíme ako 0) alebo
    • ako (Δs1 + Δs2 + ... +Δsm)/ (Δt1 + Δt2 + ...+ Δtm), kde Δsk je dĺžka dráhy na trajektóriovom úseku k (=1 až m) a Δtk je príslušný časový interval [52]:32-36[69]:56-57[31]:2[70]:26/27[4]:29-37

6. Dôležité je si všimnúť, že matematicky platí vd = |v|, teda okamžitá dráhová rýchlosť je jednoducho to isté ako veľkosť okamžitej rýchlosti (presnejšie pri použití sb: vd = +/-|v|). [5]:3-7.

Vysvetlivky značiek použitých vo vyššie uvedených vzorcoch[upraviť | upraviť zdroj]

  • t: čas
  • x, y, z… súradnice v klasickej (teda pravouhlej karteziánskej) sústave súradníc; niečo iné je x
  • i, j, k…sú jednotkové vektory v smere jednotlivých osí súradníc (teda osí x, y, z…)
  • Δ: (neinfinitezimálna) zmena (iné názvy: prírastok, časť, element, interval) danej veličiny [29]:1-9
  • d: diferenciál (iné názvy: diferenciálna (či elementárna či infinitezimálna) zmena (či prírastok, časť, element, interval)) danej veličiny [29]:1-9[45]:k.2.1; niečo iné je d
  • ||: 1. V prípade skalárov táto značka znamená absolútnu hodnotu. 2. V prípade vektorov táto značka znamená tzv. veľkosť vektora (iné názvy: dĺžka, absolútna hodnota, norma či modul vektora). Ak si nejaký vektor nazveme napr. w, tak |w| = |(x, y, z...)| = = w/w0 (kde w0 je príslušný jednotkový vektor). Namiesto značky |w| sa používa aj značka w (t.j. píše sa „normálne“ písmeno bez tučného formátovania resp. bez šípky) alebo w (t.j. písmeno sa píše kurzívou). [71][72][29]:1-9[12]:34.
  • Orientácia vektora (iný názov: zmysel vektora) znamená buď „vpred“ alebo „vzad“ (oboje po čiare smeru vektora). [73][74][67]:98
  • τ (alebo: τo, et, i): tangenciálny (či dotyčnicový) jednotkový vektor, čiže jednotkový vektor v smere dotyčnice krivky pohybu (trajektórie) v danom bode krivky pohybu a s orientáciou rastúceho sb (teda v smere pohybu); je to vlastne „smerová zložka“ vektora rýchlosti (keďže v = |v|. τ) [8]:1-38[54]:11-37[5]:3-7
  • τo: pozri pod τ
  • et: pozri pod τ
  • i:(1) pozri pod τ, (2) pozri pod i, j, k
  • vd,p , vd, vp, v: bližšie vysvetlené v tomto článku
  • s : (1) sa, t.j. (i) dĺžka dráhy (iné názvy: veľkosť dráhy, dráha), teda dĺžka spojitej čiary reálne opísanej hmotným bodom pri jeho pohybe, (ii) ako i, ale len pre prípad, že sa pohyb začína v bode s=0 a t=0; (2) sb (alebo u), t.j. krivočiara súradnica (iné názvy: jednorozmerná polohová súradnica s, dĺžka oblúka, dĺžka dráhy, veľkosť dráhy, dráha) – pozri poznámku 2 vyššie
  • s: Vektor s nie je celkom ekvivalent k skaláru s. Vektor s sa totiž vyskytuje iba (1) v spojení ds ako iný zápis pre ds.τ, čiže dr alebo (2) (zriedkavo a nevhodne) v spojení Δs (resp. aj v podobe s, ak sa pohyb začína v s=0 a t=0) ako iný zápis pre Δr - pozri poznámku 2 vyššie
  • Δs nazývame zmena (či prírastok) dĺžky (či veľkosti) dráhy, zmena (či prírastok) dráhy, prebehnutá (či prejdená/ urazená/ vykonaná) dĺžka (či veľkosť) dráhy, prebehnutá (či prejdená/urazená/vykonaná) dráha, dĺžka (či veľkosť) časti (či úseku/elementu/intervalu) dráhy, dráhový úsek, dĺžka (či veľkosť) dráhy či dráha (pričom názvy dĺžka dráhy/veľkosť dráhy/dráha sa sú aj – primárne – názvy pre s). [29]:1-9[3]:7-12[8]:1-38[75]:k.1.10,3.1,3.5[45]:k.2.1[5]:3-7[76]:117[35][28]:30-31[4]:29-37 [49]:7
  • ds nazývame diferenciál (dĺžky či veľkosti) dráhy, elementárna (či infinitezimálna/diferenciálna) dĺžka (či veľkosť) dráhy, elementárna (či infinitezimálna/diferenciálna) dráha, elementárny (či infinitezimálny/diferenciálny) prírastok (dĺžky či veľkosti) dráhy, (diferenciálny) element dráhy a pod. [29]:1-9[47]:28-31[22]:34-36[50]:5-8[45]:k.2.1 [49]:9[77] [78]
  • Δs: pozri pod s (a pod Δ)
  • ds: pozri pod s (a pod d)
  • d alebo D: pozri pod Δr.
  • r (alebo x): polohový vektor (iné názvy: sprievodič, rádiusvektor [59]:9-15[22]:34-36[79]). Je to vektor, ktorý sa začína v počiatku klasických súradníc, teda v bode (0,0,0…), a končí v aktuálnej polohe hmotného bodu. Ide len o inú formu zápisu súradníc aktuálnej polohy hmotného bodu; napríklad ak sa hmotný bod nachádza v polohe so súradnicami (2,5,7), tak jeho polohový vektor znie (2,5,7) (ide o vektor spájajúci bod (0,0,0) a bod (2,5,7) ). Ako pri všetkých vektoroch, aj pre tento vektor platí r = (x, y, z …) = x.i + y.j + z.k ... [5]:3-7[29]:1-9 Nahrádzanie znaku r značkou x je časté najmä pri jednorozmernom priamočiarom pohybe (potom sa namiesto x často píše jednoducho x), čiže pri pohybe, ktorý sa v klasickej sústave súradníc dá zobraziť ako pohyb len po jednej osi (napríklad po osi x); x potom znamená nielen r, ale zároveň aj jednoducho súradnicu x. [20]:341,410[58]:25,139-140,328[49]:8[10]:14-60 Pozri aj Δr a dr nižšie.
  • Δr (alebo Δx) nazývame zmena (či prírastok a pod. – pozri pod Δ) polohového vektora (či sprevodiča/rádiusvektora) alebo vektor posunutia (iné názvy: posunutie, vektor premiestnenia, premiestnenie, orientované posunutie alebo zriedkavo vektor posunu). De facto je oboje to isté (lebo vektor posunutia je výsledok zmeny polohového vektora), hoci niektoré texty používajú priamo koncept vektora posunutia (resp. jeho synoným), bez toho, aby tento koncept výslovne charakterizovali ako výsledok zmeny polohového vektora. [80][54]:11-37[13]:18-21[28]:18-42,52-53[81] [29]:1-9. Namiesto Δr (či Δx) sa ojedinele používa aj značka d či D (ako značka posunutia – angl. displacement); d je pritom niečo úplne iné než značka d pre diferenciál. [28]:18-42,52-53[82]. Okrem toho sa namiesto Δr (či Δx) ojedinele používa (nevhodne) znak Δs – k tomu pozri poznámku 2 vyššie.
  • dr (alebo dx) nazývame (a) diferenciál polohového vektora (či sprievodiča/rádiusvektora), elementárna (či infinitezimálna či diferenciálna) zmena polohového vektora (či sprievodiča/rádiusvektora), elementárny (či infinitezimálny či diferenciálny) prírastok polohového vektora (či sprievodiča/rádiusvektora) a pod. (pozri pod d), (b) orientovaný element (krivky) dráhy, (c) diferenciál (vektora) posunutia (či premiestnenia), elementárny (či infinitezimálny) vektor posunutia (či premiestnenia), elementárne (či infinitezimálne) posunutie (či premiestnenie), element posunutia (či premiestnenia) a pod.. [29]:1-9[3]:7-12[39]:34-35[45]:2.1.1, 2.5.6[49]:9[22]:34-36 Namiesto značky dr (či dx) sa občas používa aj značka ds (správnejšie je písať: ds.τ) a ojedinele aj značka dl. [29]:1-9[22]:36
  • x: pozri pod r
  • Δx: pozri pod Δr
  • dx: pozri pod dr
  • dl: pozri pod dr
  • Δx/Δt, Δy/Δt, Δz/Δt… nazývame zložky (či komponenty či súradnice) vektora vp alebo priemety vektora vp do jednotlivých súradnicových osí [83]:38[84]:26[8]:1-38
  • dx/dt, dy/dt, dz/dt… nazývame zložky (či komponenty či súradnice) vektora v alebo priemety vektora v do jednotlivých súradnicových osí alebo súradnicové rýchlosti [83]:38[84]:26[8]:1-38
  • u: pozri pod s
  • vd,0: vd v čase t0
  • v0: v v čase t0
  • ad: okamžité dráhové zrýchlenie – podrobnosti pozri nižšie
  • a: vektor okamžitého zrýchlenia –podrobnosti pozri nižšie

Zrýchlenie[23]:17-18[8]:3,26-28[54]:38-40,43 (pz. p. čiarou)[12]:38[85]:36[86][upraviť | upraviť zdroj]

Kvôli ďalšiemu textu článku je potrebné stručne najprv vysvetliť pojem zrýchlenie.

Podobne ako pri rýchlosti, aj pri zrýchlení možno rozlíšiť 4 typy vzorcov, z toho najdôležitejšie dva sú:

  • ad = dvd/dt = (+/-)d|v|/dt; ad sa volá okamžité dráhové zrýchlenie (iné názvy: dráhové zrýchlenie, okamžité zrýchlenie, zrýchlenie)
  • a =dv/dt; a sa volá vektor okamžitého zrýchlenia (iné názvy: okamžité zrýchlenie, zrýchlenie).

Vektor a možno vždy rozdeliť na dve zložky a = at + an, pričom:

  • at = |at|. τ = (d|v|/dt). τ ; at sa volá tangenciálne (či dotyčnicové) zrýchlenie a informuje nás o ad, a teda o zmene |v|, čiže veľkosti rýchlosti, v priebehu času; smer vektora tangenciálneho zrýchlenia je vždy rovnobežný so smerom vektora v, pričom pri zrýchlenom pohybe má aj rovnakú orientáciu ako v a pri spomalenom pohybe má opačnú orientáciu než v
  • an = |v|.(dτ/dt); an sa volá normálové (najmä v kontexte pohybu po kružnici aj: dostredivé či centripetálne) zrýchlenie a informuje nás o zmene τ, teda o zmene smeru a orientácie vektora rýchlosti, v priebehu času; smer vektora normálového zrýchlenia je vždy kolmý na smer vektora at a teda aj vektora v, a to s orientáciou dovnútra oblúka krivky dráhy, teda dovnútra “kopca”

Vyššie uvedené vzorce dostaneme matematicky uplatnením pravidla pre deriváciu súčinu (teda v našom prípade pre deriváciu |v|.τ) takto: a = dv/dt = d(|v|.τ)/dt = (d|v|/dt).τ+|v|.(dτ/dt)

Pre veľkosti týchto vektorov platí:

  • |at| = ad (Presnejšie platí +/-|at| = ad podľa toho, či ide o pohyb zrýchlený alebo spomalený, čiže podľa toho či sú vektory v a at rovnako alebo opačne orientované)
  • |an|= |v|2/R (R sa volá polomer krivosti krivky a je to polomer oskulačnej kružnice v danom bode krivky, čiže polomer takej kružnice priloženej ku krivke v danom bode krivky, ktorá najlepšie “kopíruje” priebeh krivky v okolí daného bodu krivky; ak má krivka tvar kružnice, tak je pochopiteľne R zhodné s polomerom tejto kružnice.)
  • |a| =

Skladanie vektorov rýchlostí[upraviť | upraviť zdroj]

Pri tzv. zložených pohyboch (napr. človek bežiaci v pohybujúcom sa vlaku, šikmý vrh, prechod cez tečúcu rieku a pod.) je potrebné sčítavať viaceré rýchlosti. Ak je rýchlosť vyjadrená ako vektor, tak je potrebné použiť zásady platné všeobecne pre skladanie (teda sčítanie) vektorov. Pokiaľ ide o veľkosť výsledného vektora, platia pre skladanie dvoch vektorov (v našom prípade v1 a v2) tieto zásady (* znamená „výsledný“; v hranatých zátvorkách je využitý vzťah |v|= vd, nemalo by sa ale zabúdať, že ide o zjednodušenie, lebo v skutočnosti |v|= +/- vd – porov. napr. poznámku na začiatku kapitoly Vzorce rýchlosti pre rôzne druhy pohybov):

  • a) všeobecne platný vzorec: Z tzv. kosinusovej vety vyplýva vzorec |v*| = [resp. vd* =], pričom γ je uhol zvieraný vektormi v1 a v2 a cosγ = (v1.v2)/(|v1|.|v2|) [resp. cosγ = (v1.v2)/vd1.vd2)] , kde v1.v2 je skalárny súčin týchto dvoch vektorov. Ak chceme vo vzorci z nejakého dôvodu radšej použiť sin namiesto cos, tak treba využiť všeobecný vzťah cosγ = -sin(γ-90°).
  • b) niektoré špeciálne prípady (teda špeciálne aplikácie vzorca z a) ):
    • vektory zvierajú pravý uhol (čiže γ = 90°): |v*| = [resp. vd* =], lebo cos90=0; zodpovedá to vlastne Pytagorovej vete
    • oba vektory majú rovnaký smer (čiže γ = 0° alebo 180°):
      • a majú aj rovnakú orientáciu (čiže γ = 0°): |v*| = |v1| + |v2| [resp. vd*= vd,1 + vd,2], lebo cos0 =1 ( =|v1| + |v2|)
      • a majú opačnú orientáciu (čiže γ = 180°): |v*| = |v1| - |v2| [resp. vd*= vd,1 - vd,2] alebo |v*| = |v2| - |v1| [resp. vd*= vd,2 - vd,1], lebo cos180=-1

Ak treba skladať viac než dva vektory, skladanie vykonáme postupne, a to v ľubovoľnom poradí [67]:103,98[23]:8-9[87]:177,129,105

Vzorce rýchlosti pre rôzne druhy pohybov[upraviť | upraviť zdroj]

Na úvod zhrnutie vzorcov potrebných či užitočných v naslejúcom texte (prvá časť vzorcov je opakovenia zhora a druhá časť vzorcov, teda vzorce pre pohyb po kružnici, je bližie vysvetlená ku koncu tohto článku resp. ešte bližšie v článku pohyb po kružnici):

  • |v| = vd = ds/dt (Toto s je konkrétne sb, čiže môže byť aj záporné, takže vlastne presnejšie platí +/- |v|= vd podľa toho, či pohyb prebieha v smere „číslovania“ krivočiarej súradnice sb alebo v opačnom smere)
  • |at| = d|v|/dt = ad = dvd/dt (Presnejšie platí +/-|at| = ad podľa toho, či ide o pohyb zrýchlený alebo spomalený, čiže podľa toho či sú vektory v a at rovnako alebo opačne orientované)
  • |an|= |v|2/R
  • |a| =
  • v = |v|.τ
  • at = |at|. τ = (d|v|/dt). τ
  • an = |v|.(dτ/dt)
  • a = at + an
  • |v|= r.ω (r je polomer kružnice, a teda pri tomto type krivky zároveň veľkosť polohového vektora r; ω je (okamžitá) uhlová rýchlosť)
  • |at|= r.α (α = dω/dt je (okamžité) uhlové zrýchlenie)
  • |an| = r. ω2 = |v|2/r
  • v = ω x r (x tu značí vektorový súčin; ω je vektor (okamžitého) uhlového zrýchlenia)

Delenie pohybov je takéto (písmená A, B, C…označujú rôzne významy toho istého názvu)[3]:11-21[54]:37-46[88]:26,36[12]:35,38[2]:47-48,52[23]:21-22[8]:8,15[51]:5-19[85]:37-50[89][90]:804-805 [91]:11-14[92]:3.1.2[50]:11,12,14[6]:najmä 49-50, 63, 82[13]:20[28]:52 [93][70]:30[94]:4-5[95]:4[96]:43-48[97][98]:

a) Podľa tvaru trajektórie[upraviť | upraviť zdroj]

Podľa tvaru trajektórie (teda smeru a orientácie vektora rýchlosti τ), inak povedané podľa normálového zrýchlenia (an), rozlišujeme:

  • priamočiary pohyb (t.j. pohyb po priamke): τ je konštatné, inak povedané: |an| =0
  • krivočiary pohyb (t.j. pohyb po krivke, vrátane krivky v tvare kružnice): τ nie je konštantné, inak povedané: |an| ≠0 (v prípade rovnomerného pohybu po kružnici je možné špecifickejšie povedať, že |an| je konštatné)

Na označenie krivočiareho pohybu hmotného bodu okrem pohybu po kružnici je možné použiť aj výraz všeobecný pohyb, ale tento výraz sa v literatúre používa jednak častejšie pre pohyb telesa (a nielen hmotného bodu) a jednak čiastočne nejednotne (pozri rozlišovaciu stránku).

b) Podľa veľkosti tangenciálneho zrýchlenia[upraviť | upraviť zdroj]

Vyjadrené pomocou „normálnych“ veličín[upraviť | upraviť zdroj]

Podľa veľkosti tangenciálneho zrýchlenia (|at|; inak povedané podľa dráhového zrýchlenia (+/-) ad) resp. podľa veľkosti rýchlosti (|v|; inak povedané podľa dráhovej rýchlosti (+/-)vd) rozlišujeme:

Iné názvy Definícia Veľkosť rýchlosti Veľkosť tang. zrýchlenia Veľkosť norm. zrýchlenia Veľkosť zrýchlenia Rýchlosť Tang. zrýchlenie Norm. zrýchlenie Zrýchlenie Krivočiara súradnica („dráha“)
|v| (iná značka: v) |at| (iná značka: at) |an| (iná značka: an ) |a| (iná značka: a) v at an a s
rovnomerný pohyb A pohyb s konštantnou veľkosťou (vektora) rýchlosti |v|= konšt. (čiže |at|=0) konšt. (čiže |v|=|vd| = |vd,p|= |Δs|/Δt) 0 PP: 0,
KP: ≠0 (kruh:konšt.)
PP: 0,
KP: ≠0 (kruh: konšt.)
PP:konšt.,
KP:nekonšt.
00 PP:00
KP: nekonšt.,≠00
PP:00
KP:nekonšt.,≠00
nekonšt., s=s0+/-|v0|. Δt
nerovnomerný pohyb A pohyb s nekonštantnou veľkosťou (vektora) rýchlosti, premenný pohyb A, zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb A |v| = nekonšt. (čiže |at|≠0) nekonšt. (čiže |v|≠ |Δs|/Δt)* ≠0 PP:0
KP:tnekonšt., ≠0
PP:≠0,
KP:tnekonšt., ≠0
nekonšt. PP:≠00,
KP:nekonšt.,≠00
PP:00,
KP:nekonšt.,≠00
PP:≠00,
KP:tnekonšt., ≠00
nekonšt., s≠s0+/-|v0|. Δt
(i) rovnomerne premenný pohyb A rovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb A[pozn 1] |v| = nekonšt. (čiže |at|≠0), |v| je lineárna funkcia Δt (čiže |at|=konšt.) nekonšt. (čiže |v|≠ |Δs|/Δt)*, |v| = |v0| +/-|at,0|.Δt (pre PP aj: |v| = |v0| +/-|a0|.Δt) konšt. (čiže |at|=|Δ|v||/Δt), ≠0 PP:0,
KP:tnekonšt., ≠0
PP:konšt. (čiže |a|=|Δ|v||/Δt),≠0,
KP:tnekonšt., ≠0
nekonšt. (pre PP: v = v0 + at,0.Δt = v0 + a0.Δt) PP:konšt. (čiže at = Δv/Δt), ≠00,
KP:nekonšt., ≠00
PP:00,
KP: nekonšt., ≠00
PP:konšt. (čiže a = Δv/Δt),
KP:tnekonšt.,≠00
nekonšt., s=s0+/-|v0|. Δt +/-(1/2).|at,0|.Δt2 ***
(ii) nerovnomerne premenný pohyb A nerovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený] /zrýchlený a spomalený pohyb A, nerovnomerný pohyb B |v| = nekonšt. (čiže |at|≠0), |v| nie je lineárna funkcia Δt (čiže |at|=nekonšt.) nekonšt. (čiže |v|≠ |Δs|/Δt)*, |v|≠ |v0| +/-|at,0|.Δt nekonšt. . (čiže |at|≠|Δ|v||/Δt)**, ≠0 PP:0,
KP:tnekonšt., ≠0
PP:nekonšt. (čiže |a|≠|Δ|v||/Δt)**,≠0,
KP:tnekonšt., ≠0
nekonšt. (pre PP: vv0 + a(t,)0.Δt) PP: nekonšt. (čiže at = Δv/Δt)****, ≠00
KP: nekonšt., ≠00
PP:00,
KP: nekonšt., ≠00
PP:nekonšt. (čiže a= Δv/Δt)****, ≠00,
KP:tnekonšt., ≠00
nekonšt., s≠s0+/-|v0|. Δt , s≠s0+/-|v0|. Δt +/-(1/2).|at,0|.Δt2

Vysvetlivky značiek v tabuľke:

  • konšt = konštantné
  • nekonšt. = nie je konštantné
  • tnekonšt. = typicky nekonštantné, ledaže sa nekonštantné zložky danej veličiny (t.j. pri |a|: |at| a |an|, pri a: at a an a pri |an|: |v|2 a R) vzájomne dopĺňajú tak, že ich výsledok je konštantný; napr. pri parabolickom pohybe (t.j. napr. pri šikmom vrhu) je takto konštatné a
  • 00 =nulový vektor, čiže (0,0,0 ...)
  • PP= priamočiary pohyb
  • KP = krivočiary pohyb

Poznámky k tabuľke:
1.Ak je nejaká ľubovoľná veličina „z“ konštantná, tak samozrejme možno vždy pre ňu písať z = z0, kde 0 znamená v čase t0, čiže ak je napr. |v|=konšt., tak platí aj |v|=|v0|, ak je v = konšt., tak platí aj v = v0 a pod.
2. Δt=t – t0; Δs= s – s0; Δ|v|=|v| -|v0|
3.Samozrejme vždy platí, že:

  • ak t0=0, tak Δt=t (čiže namiesto Δt môžeme písať jednoducho t)
  • ak s0=0, tak Δs=s (čiže namiesto Δs môžeme písať jednoducho s)
  • ak |v0|=0, tak Δ|v|=|v| (čiže namiesto Δ|v| môžeme písať jednoducho |v|)

4. Znakom s sa v tejto tabuľke presnejšie myslí sb (teda krivočiara súradnica). Preto sa vzorce v tabuľke pre s začínajú na “s0 +/-“ (namiesto s0 +) a v prvom riadku tabuľky je vo vzorci pre |v| použité „|vd|” a „|vd,p|“a “|Δs|” (namiesto vd a vd,p a Δs).To znamená, že v dôsledku toho, že sa v tejto tabuľke dôsledne chápe s ako sb, je zápis vzorcov v tejto tabuľke v prípadoch uvedených v predchádzajúcej vete mierne odlišný od zápisu v predchádzajúcej tabuľke prehľadu rýchlostí, v ktorej sú (kvôli lepšej prehľadnosti) vzorce primárne zapísané pre s chápané ako sa.
5. (*) Naďalej však samozrejme platí všeobecný vzorec |v|=|ds|/dt
6. (**) Naďalej však samozrejme platí všeobecný vzorec |at|= d|v|/dt (resp. |a|=d|v|/dt)
7. (***) Tento vzorec dostaneme dosadením vzorca |v|=|v0|+/-|at,0|.Δt do vzorca (ktorý vyplýva z |v|=|ds|/dt) a následným integrovaním.
8.(****) Naďalej však samozrejme platí všeobecný vzorec at= dv/dt (resp. a=dv/dt)

Vyjadrené pomocou uhlových veličín[upraviť | upraviť zdroj]

Vyššie uvedené delenie sa dá pri pohybe po kružnici (resp. všeobecnejšie aj pre jednu oskulačnú kružnicu ľubovoľnej krivky, pričom potom ale píšeme R namiesto r) ekvivalentne vyjadriť aj pomocou uhlových veličín, čiže vznikne takéto delenie (porov. aj pohyb po kružnici):

Podľa uhlovej rýchlosti (ω, inak povedané: podľa veľkosti vektora uhlovej rýchlosti |ω|), resp. podľa uhlového zrýchlenia (α, inak povedané: podľa veľkosti vektora uhlového zrýchlenia |α|) rozlišujeme:

  • rovnomerný pohyb A (iný názov: pohyb s konštantnou uhlovou rýchlosťou): ω je konštantné (čiže α=0)
  • nerovnomerný pohyb A (iné názvy: pohyb s meniacou sa uhlovou rýchlosťou, premenný pohyb A, zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb A): ω je nekonštantné (čiže α ≠0)
    • I. rovnomerne premenný pohyb A (iné názvy: rovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb A): ω je nekonštantné (čiže α ≠0) a α je konštantné, čiže ω je nekonštantné a ω = ω0 +/- α0.Δt
    • II. nerovnomerne premenný pohyb A (iné názvy: nerovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený]/zrýchlený a spomalený pohyb A, nerovnomerný pohyb B): ω = nekonštatné (čiže α ≠0) a α je nekonštantné, čiže ω je nekonštantné a ω ≠ ω0 +/- α0.Δt

c) Podľa celkového zrýchlenia[upraviť | upraviť zdroj]

Podľa (vektora) celkového zrýchlenia (a) resp. podľa (vektora) rýchlosti (v) rozlišujeme:

  • pohyb bez zrýchlenia (iný názov: nezrýchlený pohyb, pohyb s konštantnou (vektorovou) rýchlosťou, nevhodne [pozn 2]: rovnomerný pohyb B): a je nulový vektor (čiže v je konšt.)– sem patrí iba priamočiary rovnomerný pohyb A (pri ňom je mimochodom |v| konštatné) [pozn 3]
  • pohyb so zrýchlením (iné názvy: zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb B, premenný pohyb B, pohyb s nekonštantnou (vektorovou) rýchlosťou, nevhodne[pozn 4]: nerovnomerný pohyb C): a je nenulový vektor (čiže v je nekonštantné) – sem patrí krivočiary rovnomerný pohyb A a všetky nerovnomerné pohyby A:
    • pohyb s konštantným zrýchlením (iný názov: rovnomerne premenný pohyb B, rovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený]) pohyb B): a je konštantné a nenulový vektor (čiže v = v0 +a0.Δt a je nekonštantné); |v| je mimochodom nekonštantné – sem patrí priamočiary rovnomerne premenný pohyb A a parabolický pohyb (napr. šikmý vrh, čo je druh krivočiareho nerovnomerne premenného pohybu A)
    • pohyb s nekonštantným zrýchlením (iné názvy: nerovnomerne premenný pohyb B, nerovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený]/ zrýchlený a spomalený pohyb B, nerovnomerný pohyb D): a je nekonštantné a nenulový vektor (čiže vv0 +a0.Δt a je nekonštantné); |v| je mimochodom pri krivočiarom rovnomernom pohybe konštantné, inak je nekonštantné

Ako vidno z delení b) a c), rýchlosť teda možno rozdeliť podľa kritéria “zrýchlenie” dvoma spôsobmi – buď podľa dráhového zrýchlenia ad (resp. veľkosti vektora tangenciálneho zrýchlenia |at|), alebo podľa vektora celkového zrýchlenia a.

V tomto článku sa vyššie uvedené termíny ďalej primárne používajú vo významoch tu označených ako “A”.

Vzorce rýchlosti pre špecifické typy pohybov[upraviť | upraviť zdroj]

Najznámejšie špecifické typy pohybov hmotných bodov sú pohyb v homogénnom tiažovom poli planéty Zem vo vákuu a pohyb po kružnici

Pohyb v homogénnom tiažovom poli planéty Zem vo vákuu [67]:100-105[6]:102-117[99][100]:sn.20[45]:k.2.1.5[85]:51-58[upraviť | upraviť zdroj]

Pohyb v homogénnom tiažovom poli Zeme vo vákuu znamená, že kdekoľvek na Zemi či nad Zemou platí, že a = g = konšt., čiže vektor zrýchlenia sa rovná vektoru tiažového zrýchlenia Zeme (g) a je konštantný. Z rovnice pre pohyb s konštantným zrýchlením (v = v0 + a0.Δt) teda dostaneme v = v0 + g.Δt. Okrem toho v tomto článku volíme súradnicovú sústavu v takej podobe, že x-ová os je na povrchu Zeme a y-ová os smeruje kolmo nahor do vesmíru, čiže g = (0,-g,0), pričom g (=|g|) je tiažové zrýchlenie. [pozn 5]. Tento druh pohybu delíme na voľný pád a vrh:

Voľný pád[upraviť | upraviť zdroj]

Voľný pád je definovaný tak, že hmotný bod padá (v homogénnom tiažovom poli Zeme vo vákuu) zvislo nadol a nemá udelenú začiatočnú rýchlosť, teda v0=0. Ide o príklad rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu. Po dosadení do vzorcov pre rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb (v = v0 + at0.t a vd = vd,0 + a0.t) dostaneme: v =g.t a vd = -g.t (nižšie budeme pre voľný pád presnejšie používať označenia vg a vd,g). Niekedy sa voľný pád klasifikuje ako špeciálny prípad vrhu (pozri nižšie), keďže ide vlastne o vrh s v0=0.

Vrh[upraviť | upraviť zdroj]

Vrh je definovaný tak, že hmotný bod je hodený (v homogénnom tiažovom poli Zeme vo vákuu) ľubovoľným smerom s určitou začiatočnou rýchlosťou, teda v0≠0. Ak je vrh zvislý, jeho trajektória je priamka (t.j. ide o priamočiary pohyb) a pohyb je rovnomerne premenný; v ostatných prípadoch vrhu (teda pri vodorovnom alebo šikmom vrhu) je trajektória časť paraboly (t.j. ide o krivočiary pohyb) a ide o nerovnomerne premenný pohyb (teda |at|, a tým aj at, sa mení), ale zároveň pohyb s konštantným (celkovým) zrýchlením (teda a je konštantné, lebo sa rovná g). Aby bol výpočet jednoduchší, súradnicovú sústavu volíme tak, že celý vrh prebieha v rovine x-y (súradnica z je teda nulová). Môžeme rozlíšiť tieto prípady:

  • a) všeobecný prípad (t.j. šikmý vrh): v0 je vektor rýchlosti v smere a orientácii hodenia hmotného bodu, jeho veľkosť je konštantná hodnota vd,0.Uhol zvieraný (smerom nahor) medzi medzi v0 a vodorovnou čiarou nazveme elevačný uhol a označíme α (Pozor na zámenu so znakom α ako symbolom uhlového zrýchlenia). Jedna možnosť riešenia je dosadiť (zo vzťahov v trojuholníku vyplývajúce) v0= (|v0|.cosα, |v0|.sinα, 0)= (vd,0.cosα, vd,0.sinα, 0) do vzorca v =v0 + g.Δt a potom vypočítať vd = |v| s použitím klasického vzorca pre normu vektora. Druhá možnosť je vykonať skladanie vektorov v0 a vg (vg =g.Δt, vd,g = -g.Δt) s použitím vzorca pre skladanie vektorov rýchlostí (teda vd* = , pričom α= γ-90° a teda cosγ = -sin α, kde γ je uhol medzi v0 a vg). Výsledné vd bude pri oboch postupoch vd=.
  • b) niektoré špeciálne prípady (teda špeciálne aplikácie šikmého vrhu):
    • vodorovný vrh (čiže α = 0): vd=
    • zvislý vrh:
      • nahor (čiže α = 90°):vd = vd,0 –g.Δt
      • nadol (čiže α = 270° resp. -90°): vd = -vd,0 –g.Δt

Pri zvislom vrhu (kedže je pri ňom – na rozdiel od šikmého a vodorovného vrhu – je |at| konštantné) možno k uvedenému výsledku dospieť alternatívne tak, že (s patričným prihliadnutím na správne znamienka) dosadíme g do rovnice pre rovnomerne premenný pohyb, teda vd = vd,0 - |ad,0|t resp. vd = vd,0 + ad,0.Δt.

Pohyb po kružnici[8]:39-46[6]:87-101[3]:20-21[67]:106-109[5]:29-39[101]:45[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Pohyb po kružnici

Pohyb po kružnici (nazývaný aj kruhový pohyb) je druh krivočiareho pohybu – je to taký (rovinný) krivočiary pohyb, pri ktorom trajektória má tvar kružnice. V tomto kontexte rozlišujeme medzi (“normálnou”) rýchlosťou, (“normálnym”) zrýchlením a (“normálnou”) dráhou na jednej strane a uhlovou rýchlosťou, uhlovým zrýchlením a uhlovou dráhou na strane druhej. Tieto “normálne” veličiny na odlíšenie od uhlových v tomto kontexte voláme aj obvodové (t.j. obvodová rýchlosť, obvodové zrýchlenie a obvodová dráha).

Opis pohybu po kružnici má širší význam než sa na prvý pohľad môže zdať, pretože (takmer) ľubovoľný krivočiary pohyb sa dá opísať tak, že ku krivke pohybu (teda trajektórii) v danom bode priložíme kružnicu, ktorá túto krivku v danom “záhybe” krivky čo najlepšie aproximuje (tzv. oskulačná kružnica) a potom počítame pomocou údajov pre túto kružnicu (existujú však pochopiteľne aj iné metódy opisu krivočiareho pohybu). Okrem toho v kontexte pohybu nie jedného hmotného bodu, ale nejakého celého telesa (presnešie tzv. dokonalého tuhého telesa, teda tvarovo nemennej sústavy hmotných bodov) tvorí pohyb po kružnici základ analýzy tzv. otáčavého pohybu telesa (napríklad pohyb listu vrtule).

Nasleduje len základný prehľad vzorcov, podrobnosti a odvodenia sú uvedené v článku pohyb po kružnici:

Všeobecný prípad[upraviť | upraviť zdroj]

Symboly a vzorce platné všeobecne pre akýkoľvek pohyb po kružnici:

  • stred kruhu je na zjednodušenie výkladu stotožnený s počiatkom karteziánskej súradnicovej sústavy
  • r je polomer kružnice (|r|=r)
  • ϕ = |ϕ| je polohový uhol (iné názvy: uhlová súradnica, uhol otáčania) resp. uhlová dráha
  • ϕ je vektor polohového uhla; jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania)
  • ω = dϕ/dt =|ω| je (okamžitá) uhlová rýchlosť,
  • ω = dϕ/dt = (1/r2).(r x v) je vektor (okamžitej) uhlovej rýchlosti; jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania)
  • α = dω/dt = d2ϕ/dt = |α| je (okamžité) uhlové zrýchlenie (alternatívne sa značí: ɛ)
  • α = dω/dt = d2ϕ/dt =(1/r2).(r x a) je vektor (okamžitého) uhlového zrýchlenia (alternatívne sa značí: ɛ); jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania)
  • τ =(-sinϕ, cosϕ)
  • τn =(-cosϕ, -sinϕ) je jednotkový vektor v smere an (tzv. normálový jednotkový vektor) a teda aj v smere opačnom než r (čiže an =|an|.τn a r=-|r|. τn = -r. τn)
  • s= s0+r.(ϕ- ϕ0)
  • |v|=r.ω (presnejšie: |v| = |r.ω|)
  • |at|= r.α (presnejšie: |at|= |r.α|)
  • |an|=r. ω2=|v|2/r
  • |a|=r.√(α^2+ω^4 )
  • r=(r.cosϕ, r.sinϕ)
  • v=ω x r
  • at= r.α.τ (presnejšie: |r.α|. τ)
  • an =|an|.τn
  • a=|at|.τ + |an|.τn

Podtypy[upraviť | upraviť zdroj]

Rovnomerný pohyb po kružnici[upraviť | upraviť zdroj]

Definícia:

  • z hľadiska uhlových veličín: ω je konštantné (inak povedané α = 0)
  • z hľadiska obvodových veličín: |v| je konštantné (inak povedané |at|=0) [a |an| je konštantné]

Vzorce pre skalárne veličiny:

  • uhlové:
    • ϕ = ϕ0 + ω0.Δt
    • ω = ω0
    • α=0
  • obvodové:
    • s = s0 + r. ω0.Δt (presnejšie: s=s0+/-r.ω0.Δt)
    • |v|=r.ω0
    • |at|=0
    • |an|=r. ω02
    • |a| = |an|
Rovnomerne premenný pohyb po kružnici[upraviť | upraviť zdroj]

Definícia:

  • z hľadiska uhlových veličín: α je konštantné a ω je nekonštantné (inak povedané: α ≠ 0)
  • z hľadiska obvodových veličín: |at| je konštantné a |v| je nekonštantné (inak povedané|at| ≠0)

Vzorce pre skalárne veličiny:

  • uhlové:
    • ϕ = ϕ0 + ω0.Δt + (1/2).α0.Δt2
    • ω = ω00.Δt = ((ω02-2.α00) + 2.α0. ϕ)1/2
    • α= α0≠0
  • obvodové:
    • s = s0 + r. ω0.Δt + (1/2).r.α0.Δt (presnejšie: s = s0 +/- r. ω0.Δt +/- (1/2).r.α0.Δt)
    • |v| = r(ω0+ α0.Δt) (presnejšie: |v| = |r(ω0+ α0.Δt)|)
    • |at|= r. α0 (presnejšie: |at|= |r.α0|)
    • |an| =r.(ω00.Δt)2
    • |a| =
Nerovnomerne premenný pohyb po kružnici[upraviť | upraviť zdroj]

Definícia:

  • z hľadiska uhlových veličín: α je nekonštantné a ω je nekonštantné (inak povedané: α ≠ 0)
  • z hľadiska obvodových veličín: |at| je nekonštantné a |v| je nekonštantné (inak povedané|at| ≠0)

Inak povedané: ide o každý pohyb po kružnici, ktorý nie je ani rovnomerný pohyb po kružnici, ani rovnomerne premenný pohyb po kružnici.

Vzorce pre skalárne veličiny:

  • uhlové:
    • ϕ ≠ ϕ0 + ω0.Δt; ϕ ≠ ϕ0 + ω0.Δt + (1/2).α0.Δt2
    • ω ≠ ω0; ω ≠ ω00.Δt, čiže ω ≠ ((ω02-2.α00) + 2.α0. ϕ)1/2
    • α ≠0; α ≠ α0
  • obvodové:
    • s ≠ s0 + r. ω0.Δt (presnejšie: s≠s0+/-r.ω0.Δt); s ≠ s0 + r. ω0.Δt + (1/2).r.α0.Δt (presnejšie: s ≠ s0+/-r.ω0.Δt+/-(1/2).r.α0.Δt)
    • |v| ≠ |v0|; |v| ≠ r(ω0+ α0.Δt) (presnejšie: |v| ≠ |r(ω0+ α0.Δt)|)
    • |at|≠0;|at| ≠ r. α0 (presnejšie |at| ≠ |r. α0|)
    • |an|≠ r. ω02; |an|≠r.(ω00.Δt)2
    • |a|≠ |an|; |a| ≠

Poznámky[upraviť | upraviť zdroj]

  1. Rovnomerne zrýchlený je pohyb vtedy, ak vd a ad majú rovnaké znamienko, t.j. ak vektory v a at sú rovnako orientované, inak ide o rovnomerne spomalený (či oneskorený) pohyb [12]:38[23]:21[85]:36
  2. Takto výraz používa zdá sa jedine Ožvoldová: Pozri Ožvoldová str. 50, pričom ale tejto definícii zo str. 50 protirečí definícia na str. 82, kde sa namiesto v hovorí len o .
  3. Porov. [54]:40 a [3]:21. Ak sa v nejakom texte spomína ďalší typ pohybu s nulovým celkovým zrýchlením, tak môže ísť jedine o pohyb s nulovým uhlovým zrýchlením,teda sa myslí α a nie a – k tomu pozri text v bode b) .
  4. Pozri analogicky poznámku k výrazu rovnomerný pohyb B
  5. Ak by sme zvolili súradnicovú sústavu tak, že x-ová začína v bode začiatku pohybu a y-ová os smeruje kolmo nadol, tak by platilo g=(0,g,0)

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. a b STN EN ISO 80000-3, "Veličiny a jednotky. Časť 3: Priestor a čas (ISO 80000-3: 2006)".
  2. a b c d e f g h i j ŠANTAVÝ, Ivan; PEŠKA, Ladislav. Fyzika základního kurzu I (hypertextově) [online]. Ústav fyzikálního inženýrství Fakulty strojního inženýrství Vysokého učení technického v Brně, 2005, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  3. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u KRÁLÍK, Jiří. Mechanika – studijní text pro kombinované studium [online]. Katedra fyziky PF UJEP, 2007, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  4. a b c d e f g h i j k l m KÚDELČÍK, Jozef; HOCKICKO, Peter. Základy fyziky- elektronický materiál k videoanalýze fyzikálnych dejov [online]. Žilinská univerzita, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  5. a b c d e f g h i j k l m n o p KOKTAVÝ, Bohumil. "Mechanika hmotného bodu: učební text pro studenty distančního a denního studia". vyd. 2. v Akademickém nakl. CERM 1. Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2006. Učební texty vysokých škol. ISBN 80-7204-474-5.
  6. a b c d e f g h i OŽVOLDOVÁ, Miroslava; ČERVEŇ, Ivan. Úvod do vysokoškolskej fyziky. Bratislava : Slovenská technická univerzita, 2004. ISBN 80-227-2114-X.
  7. a b c d CHMELÍK, František. Fyzika I - mechanika [online]. Fyzikální sekce Matematicko-fyzikální fakulty UK, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  8. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t MEYER, Heinz, et al.. Technische Mechanik (Teil 2: Kinematik und Kinetik). 7. vyd. Stuttgart : G G Teubner, 1991. ISBN 978-3-519-16521-7.
  9. a b BARTELMANN, Matthias; FEUERBACHER, Björn; KRÜGER, Timm. Theoretische Physik. Berlin; Heidelberg : Springer Spektrum, 2014 (2015). ISBN 978-3-642-54617-4.
  10. a b c d e f g h i HALLIDAY, David et al. "Fyzika: vysokoškolská učebnice obecné fyziky". Vyd. 1. Brno: VUTIUM, 2000. Překlady vysokoškolských učebnic; sv. 1. ISBN 80-7196-214-7
  11. a b FEYNMAN, Richard Phillips, LEIGHTON, Robert B. a SANDS, Matthew. "Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady 1". Havlíčkův Brod: Fragment, 2000. ISBN 80-7200-405-0
  12. a b c d e f g h i j ILKOVIČ, Dionýz. "Fyzika pre študujúcich na vysokých školách technických. [Diel] 1, Mechanika, akustika, termika". 4. vyd. Bratislava: Alfa, 1968. (novšie vydanie je dostupné online: http://www.kf.elf.stuba.sk/~bokes/DI_web/Ilkovic.php)
  13. a b c d e f g h i j k l m JAVORSKIJ, Boris Michajlovič a SELEZNEV, Jurij Aleksandrovič. "Přehled elementární fyziky". Překlad Miroslav Brdička. 1. vyd. Praha: SNTL, 1989. ISBN 80-03-00184-6
  14. a b c KREMPASKÝ, Július. "Fyzika: príručka pre vysoké školy technické". 2., preprac. vyd. Bratislava: Alfa, 1987. Edícia matematicko-fyzikálnej literatúry.
  15. a b c d e Geschwindigkeit. In: Lexikon der Physik. [CD-ROM] Heidelberg : Spektrum, Akad. Verl, c2000. ISBN 3-8274-0515-7.
  16. a b c d e SCHOLTZ, Elemír; KIREŠ, Marián. ŠIS-Fyzika-Učebné texty-Kinematika-2.5 Rýchlosť pohybu [online]. Oddelenie didaktiky fyziky Ústavu fyzikálnych vied, PF UPJŠ v Košiciach, c2000, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  17. a b c d e f g ŠTOLL, Ivan. Mechanika [online]. ČVUT v Praze – Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, c2010 (pôvodne: c1995), [cit. 2016-08-26]. Dostupné online.
  18. a b c d e ZINDULKA, Ondřej. Vektorová pole [online]. Stavební fakulta ČVUT – Katedra matematiky, 1999, [cit. 2016-08-26]. Dostupné online.
  19. a b c speed;velocity In: A Dictionary of Physics. 7th ed. Oxford: Oxford University Press , 2015. ISBN 978-0-19-871474-3.
  20. a b c d e speed; velocity In: ATKINS, Tony; ESCUDIER, Marcel. A Dictionary of Mechanical Engineering. Oxford: Oxford University Press , 2013. ISBN 978-0-19-958743-8.
  21. speed; velocity In: CLAPHAM, Christopher; NICHOLSON, James. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. 4th ed. Oxford: Oxford University Press , 2009. ISBN 978-0-19-923594-0.
  22. a b c d e f g h i j k l m HORÁK, Zdeněk a KRUPKA, František. "Fyzika: příručka pro vysoké školy technického směru". 2., přeprac. vyd. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1976.
  23. a b c d e f g h i j k l m n o ŠANTAVÝ, Ivan; LIŠKA, Miroslav. Vybrané kapitoly z fyziky [online]. Ústav fyzikálního inženýrství Fakulty strojního inženýrství Vysokého učení technického v Brně, 2005, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  24. a b c d DEMO, Pavel. "Fyzika". Praha: České vysoké učení technické, 2008. ISBN 978-80-01-04171-0
  25. ENGFER, Roland. Physik A für Naturwissenschaftler Teil 1: Mechanik [online]. Universität Zürich, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  26. KLEINOVÁ, Hana. "Úlohy z mechaniky jinak než rutinně" [online]. Brno, 2007 [cit. 2016-08-25]. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. Dostupné z: http://is.muni.cz/th/77877/prif_m/
  27. a b c d KRAUSE, Friedrich. Brückenkurs Physik 2007 [online]. Theoretische Teilchenphysik - Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften -Bergische Universität Wuppertal, 2007, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  28. a b c d e f g h i VACHEK, Jiří et al. Fyzika pre 1. ročník gymnázia. 1. vyd. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1984.
  29. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t RUSŇÁK, Karel. Fyzika pro informatiky-Klasická mechanika-Kinematika hmotného bodu [online]. Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni – Katedra fyziky, 2007, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  30. a b c d e rýchlosť. In: Pyramída. s.5145.
  31. a b KOUBEK, Václav; LAPITKOVÁ, Viera; DEMKANIN, Peter. Fyzika pre 1. ročník gymnázia. Prievidza : EDUCO, 2009. ISBN 978-80-89431-00-7.
  32. MÁDR, Vilém, et al.. FYZIKA I -Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava- Fakulta strojní, 2013, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  33. WESTPHAL, Wilhelm H.. Physik : Ein Lehrbuch. 8. vyd. Berlin : Springer Verlag, 1941.
  34. a b c KRYNICKÝ, Martin. Fyzika SŠ.realisticky.cz [online]. Martin Krynický, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  35. a b speed in: McGraw Hill Encyclopedia of Science & Technology, vol. 17 Sor-Sup. 10th ed. New York:McGraw-Hill , c2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
  36. rýchlosť. In: BUJNÁK, Pavel, ed. Slovenský náučný slovník III N – Ž. Bratislava, Praha: Litevna, literárne a vedecké nakladateľstvo Vojtech Tilkovský, 1932. s. 150.
  37. MIKULČÁK, Jiří et al. Matematické fyzikálne a chemické tabuľky pre stredné všeobecnovzdelávacie školy. Preklad Jozef Ivanič. Bratislava : Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1967.
  38. WESTPHAL, Wilhelm H.. Die Grundlagen des physikalischen Begriffssystems : Physikal. Grössen u. Einheiten. 2. vyd. Braunschweig : Vieweg, 1971. ISBN 3-528-18218-0.
  39. a b SVOBODA, Emanuel, et al. Přehled středoškolské fyziky. 7. dopl. vyd. Praha : Prometheus, 2001 (1998). ISBN 80-7196-116-7.
  40. KRÁLÍK, Jiří. Úvod do studia fyziky – studijní text pro kombinované studium [online]. Katedra chemie PřF UJEP, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  41. a b c d KULHÁNEK, Petr. Fyzika 1 pro KME – Kinematika – učební text [online]. katedra fyziky FEL ČVUT v Praze a AGA, c2014, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  42. a b c d e f TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Physik (für Wissenschaftler und Ingenieure). 7. vyd. Berlin, Heidelberg : Springer Spektrum, 2014 (2015). ISBN 978-3-642-54165-0.
  43. Rychlost hmotného bodu In: REICHL, Jaroslav. Encyklopedie fyziky [online]. Jaroslav Reichl a Martin Všetička, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  44. a b c d e GIANCOLI, Douglas C.. Physik (Lehr- und Übungsbuch). 3.. vyd. München, Boston etc. : Pearson Studium, 2010. ISBN 978-3-86894-023-7.
  45. a b c d e f g OŽVOLDOVÁ, Miroslava, et al. e-skriptá [online]. Katedra fyziky STU, c2002, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  46. a b BARČOVÁ, Karla et al.. Sbírka úloh z fyziky (pro kurz Fyzika pro bakaláře) [online]. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, [cit. 2016-08-24]. Dostupné online. (český)
  47. a b c d e HAJKO, Vladimír a DANIEL-SZABÓ, Juraj. "Základy fyziky". 2. dopl. vyd. Bratislava: Veda, 1983
  48. a b c d JANDAČKA, Daniel. Základy biomechaniky tělesných cvičení [online]. PaedDr. Dagmar Hanousková, Luleč 2012, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  49. a b c d e f g h i j k l OLČÁK, Dušan, et al.. Fyzika I [online]. Technická univerzita v Košiciach, 2006, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  50. a b c d e f BANÍK, Ivan; CHOVANCOVÁ, Marcela; ZÁMEČNÍK, Jozef. Fyzika . 1 , Mechanika a hydromechanika. Bratislava : Slovenská technická univerzita, 2007. ISBN 978-80-227-2590-3.
  51. a b c d ZAJÍC, Jan. Fyzika 1 (Pro obor „Dopravní prostředky“ prezenčního studia DFJP) – 2. Mechanika hmotného bodu – 2.1 Kinematika pohybu hmotného tělesa [online]. Univerzita Pardubice – Fakulta chemicko-technologická, 2005, [cit. 2016-08-26]. Dostupné online.
  52. a b c d BEDNAŘÍK, Milan, ŠIROKÁ, Miroslava a BUJOK, Petr. "Fyzika pro gymnázia. Mechanika". 1. vyd. Praha: Prometheus, 1993. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-901619-3-6.
  53. a b OŽVOLDOVÁ, Miroslava, et al. e-Fyzika (Základný bakalársky kurz pre technické univerzity) [online]. Slovenská technická univerzita v Bratislave, c2002, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  54. a b c d e f g h i j KRÁLÍK, Jiří. Úvod do studia fyziky – studijní text pro kombinované studium [online]. Katedra chemie PřF UJEP, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  55. a b GROSS, Dietmar, et al.. Technische Mechanik Bd. 3, Kinetik. 11. vyd. Berlin, Heidelberg : Springer, 2010. ISBN 978-3-642-11263-8.
  56. HÜBEL, Horst. SG002 Geschwindigkeit / Tempo [online]. Dr. Horst Hübel, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  57. HÜBEL, Horst. Geschwindigkeit als Vektor [online]. Dr. Horst Hübel, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  58. a b c d FLÜGGE, S.. Encyclopedia of Physics/Handbuch der Physik - Principles of Classical Mechanics and Field Theory/Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie. Berlin : Springer Berlin, 1960. ISBN 978-3-540-02547-4.
  59. a b c d KVASNICA, Jozef et al. "Mechanika: celost. vysokošk. učebnice pro stud. matematicko-fyz. a přírodověd. fakult". 1. vyd. Praha: Academia, 1988.
  60. a b c ROSEN, Joe. Encyclopedia of physics. New York : Facts On File, c2004. ISBN 0-8160-4974-2.
  61. GOLDSTEIN, Herbert; POOLE, Charles P.; SAFKO, John L.. Classical Mechanics. 3. vyd. San Francisco etc. : Addison Wesley, c2002. ISBN 978-0-201-65702-9.
  62. pozri zdroje k v
  63. BERLINER, Arnold; SCHEEL, Karl, eds.. Physikalisches Handwörterbuch. Berlin : Julius Springer, 1924.
  64. velocity in: McGraw Hill Encyclopedia of Science & Technology, vol. 19 U-Zyg. 10th ed. New York:McGraw-Hill , c2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
  65. HÜBEL, Horst. SG001 Ort / Weg [online]. Dr. Horst Hübel, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  66. GRIMSEHL, Ernst, et al.. Grimsehl Lehrbuch der Physik (Band 1 Mechanik · Akustik · Wärmelehre). 27. vyd. Leipzig : Springer Fachmedien Wiesbaden, 1991. ISBN 978-3-663-05733-8.
  67. a b c d e GÖBEL, Rudolf et al. "Fyzika pre maturantov". 2. vyd. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1986.
  68. HOLZNER, Steven. Physik für Dummies. 4. vyd. Weinheim : Wiley VCH Verlag, 2015. ISBN 978-3-527-71168-0.
  69. SVOBODA, Emanuel, BEDNAŘÍK, Milan a ŠIROKÁ, Miroslava. Fyzika pro gymnázia. Mechanika. 5., přeprac. vyd. Praha: Prometheus, 2013. ISBN 978-80-7196-431-5
  70. a b SEXL, Roman; RAAB, Ivo; STREERUWITZ, Ernst. Physik. 1. Wien : Ueberreuter, Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, 1989. ISBN 3-209-00803-5.
  71. norma vektoru In: Technický slovník naučný 5 M – O. Praha : Encyklopedický dům, 2003. ISBN 80-7335-080-7. s. 300.
  72. modul vektoru In: Technický naučný slovník M – Po. Praha, Bratislava : SNTL, SVTL, 1963. s. 142.
  73. Vektorrechnung [online]. Duale Hochschule Baden-Württemberg Mannheim, (?)2010, [cit. 2016-04-01]. Dostupné online.
  74. MARGHITU, Dan B. Mechanical Engineer’s Handbook. San Diego: Academic Press, 2001. ISBN 0-12-471370-X. s. 2 Dostupné aj online: http://people.na.infn.it/~vanzanel/scambio/prog_mec/manuali/Manuale%20ingegnere%20meccanico.pdf (Poznámka: Tu je použitý výraz zmysel, zatiaľ čo výraz orientácia tu znamená smer [okrem zmyslu])>
  75. KOUBEK, Václav, et al.. Fyzika pre 1. ročník gymnázií [online]. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (pôvodne: Slovenské pedagogické nakladateľstvo), 2004 (pôvodná kniha), [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  76. MIKULČÁK, Jiří et al. Matematické fyzikálne a chemické tabuľky pre stredné školy. Preklad Magda Caková. 2. vyd. Bratislava : Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1992. ISBN 80-08-01489-X.
  77. RAJNIŠ, Ivo. Poesie rychlosti In: BORECKÝ et al. Topičův sborník, 1925, s. 510
  78. Základy mechaniky [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, [cit. 2016-04-01]. Dostupné online.
  79. rádiusvektor In: ŠALING, Samo et al. Veľký slovník cudzích slov. Bratislava – Veľký Šariš: Vydavateľstvo Samo, 2000. ISBN 80-967524-6-4. s. 1027
  80. BRDIČKA, Miroslav a HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika: celost. vysokošk. učebnice pro stud. matematicko-fyz. a pedagog. fakult, stud. oboru učitelství všeobecně vzdělávacích předmětů. Praha: Academia, 1987. s. 25
  81. rýchlosť In: PAULIČKA, Ivan, ed. Všeobecný encyklopedický slovník M – R . 1. slovenské vyd. Praha: Ottovo nakladatelství - Cesty, 2002. ISBN 80-7181-708-2. s.996-997
  82. GIANCOLI, Douglas C.. Physics (Principles with Applications). 6. vyd. Upper Sadle River, NJ 07458 : Pearson/Prentice Hall, 2005. ISBN 0-13-060620-0.
  83. a b TILLICH, Josef et al. Slovník školské fyziky: výkladový slovník k publikaci Názvy a značky školské fyziky. 1. vyd. Praha: SPN, 1988.
  84. a b STN EN ISO 80000-2, "Veličiny a jednotky. Časť 2: Matematické značky a symboly používané v prírodných vedách a v technike (ISO 80000-2: 2009)".
  85. a b c d ZAJÍC, Jan. Fyzika 1 [online]. Univerzita Pardubice – Fakulta chemicko-technologická, 2016, [cit. 2016-04-07]. Dostupné online.
  86. Obrazový slovník známých křivek - Základní pojmy [online]. Samková, Kateřina, 2005-2006, [cit. 2016-08-30]. Dostupné online.
  87. LOŠŤÁK, Jiří. Matematika do kapsy. 1. vyd. v edici Učebnice do kapsy. Olomouc: Fin, 1992. Učebnice do kapsy. ISBN 80-85572-03-6.
  88. KALOČ, Rudolf. "Mechanika. II. [diel], Kinematika". 1. vyd. Bratislava: Alfa, 1969. Dočasné vysokoškolské učebnice.
  89. TROJÁNEK, Aleš. Projekt Šablony na GVM – Mechanika - Kinematika [online]. [Cit. 2016-08-30]. Dostupné online.
  90. pohyb In: Masarykův slovník naučný: lidová encyklopedie všeobecných vědomostí , 5 N-Q. Praha: Československý kompas, 1931.
  91. KLIMA, Ján. Mechanika - Kinematika [online]. Katedra fyziky Fakulty prírodných vied Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici, 2012, [cit. 2016-08-30]. Dostupné online.
  92. OŽVOLDOVÁ, Miroslava, et al. Multimediálna vysokoškolská učebnica fyziky – Časť I [online]. Katedra fyziky PF TU, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  93. pohyb In: Technický naučný slovník M – Po. Praha, Bratislava : SNTL, SVTL, 1963. s. 598.
  94. Sbírka řešených úloh z mechaniky [online]. DFJP UPa, [cit. 2016-04-01]. Dostupné online.
  95. GROSS, Dietmar, et al.. Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3, Kinetik, Hydrodynamik. 9. vyd. Berlin, Heidelberg : Springer, 2010. ISBN 978-3-540-98098-0 Chybné ISBN.
  96. DEMTRÖDER, Wolfgang. Experimentalphysik 1 (Mechanik und Wärme). Berlin; Heidelberg : Springer Spektrum, 2008. ISBN 978-3-540-79294-9.
  97. parabolische Bewegung In: LUEGER, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 7. Stuttgart, Leipzig, 1909. s. 23-24. Dostupné aj online: http://www.zeno.org/Lueger-1904/A/Parabolische+Bewegung
  98. Bewegung In: LUEGER, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 1. Stuttgart, Leipzig, 1904. s. 765-768. Dostupné aj online: http://www.zeno.org/nid/20005973082
  99. volný pád, vrh In: Technický slovník naučný 8 T – Ž. Praha : Encyklopedický dům, 2005. ISBN 80-7335-080-7. s. 367-368, 374.
  100. URBANOVÁ, Marie. Fyzika I [online]. [Cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  101. DEMTRÖDER, Wolfgang. Experimentalphysik 1 (Mechanik und Wärme). 4. vyd. Berlin; Heidelberg, New York : Springer, 2006. ISBN 3-540-26034-x Chybné ISBN.