Skewesovo číslo

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Skewesove čísla sú v teórii čísel prirodzených čísel. Po prvýkrát ich použil juhoafrický matematik Stanley Skewes. Obe Skewesove čísla boli v dobe svojho vynájdenia najmenšími známymi hornými odhadmi pre riešenie dvoch súvisiacich problémov teórie čísel.

Prvé Skewesovo číslo býva často nazývané iba Skewesovo číslo.

Hodnota prvého Skewesovho čísla je eee79 s približnou hodnotou

10108,85 × 1033, hodnota druhého Skewesovho čísla je 101010963.

História vzniku[upraviť | upraviť zdroj]

Skewesova čísla vznikli ako horné odhady pre riešenie nasledujúceho problému:

Nech π(x) značí počet prvočísiel menších než x a Li(x) logaritmický integrál, tj. hodnotu . Napríklad z vety o prvočíslach plynie asymptotický vzťah (tj. ), ktorý zhruba vraví, že „hodnoty funkcií π a Li sú pre veľké argumenty x približne rovnaké“. Prirodzenou otázkou preto je, ktorá z týchto funkcií je väčšia?

Pre malé prirodzené čísla x prevažuje funkcia Li, ako možno ľahko spočítať. Skewesov učiteľ John Edensor Littlewood dokázal v roku 1914, že tomu tak nie je pre všetky čísla – existuje n prirozené také, že π(n)>Li(n), a teda nejmenšie také n (Littlewood dokázal dokonca viac – funkcia (π - Li)(x) mení v obore prirodzených čísel znamienko nekonečnekrát)[1]. Problémom Littlewoodovho dôkazu bolo, že bol „neefektívny“, nebolo z neho možné určiť (ani približne) hodnotu n.

Stanley Skewes vymyslel prvý efektívny dôkaz v roku 1933[2]. Dokázal, že za předpokladu Riemannovej hypotézy je nejmenšie n, pre ktoré π(n)>Li(n), menšie než (približne ). Tento horný odhad dostal názov Skewesovo číslo (neskôr premenované na prvé Skewesovo číslo).

V roku 1955 Skewes dokázal vynechať predpoklad Riemannovej hypotézy, v takom prípade bol schopný odhadnúť veľkosť n hodnotou nazvanou druhé Skewesovo číslo[3].

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. J. E. Littlewood. „Sur la distribution des nombres premiers“, Comptes Rendus 158 (1914), pp. 1869-1872
  2. S. Skewes. „On the difference π(x) − Li(x)“, Journal of the London Mathematical Society 8 (1933), pp. 277-283.
  3. S. Skewes. „On the difference π(x) − Li(x) (II)“, Proceedings of the London Mathematical Society 5 (1955), pp. 48-70.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]