Stojaté vlnenie

Stojaté vlnenie je jav, keď sa vlnenie nachádza v superpozícii s iným vlnením tak, že vlnová funkcia má v istých polohách hodnotu konštantnú v čase.

Stojaté vlnenie zvyčajne nastáva v prípade, že sa vlna odráža a vracia späť k svojmu zdroju, pričom vzdialenosť medzi zdrojom a bodom odrazu je násobkom vlnovej dĺžky. V prípade, že sa vlnenie odráža aj od zdroja, vlnenie zostáva medzi miestami odrazu aj po vypnutí zdroja, až kým sa nerozptýli kvôli nedokonalým odrazom späť. Zariadenie, ktoré toto využíva sa nazýva rezonátor.

Stojaté vlnenie sa bežne pozoruje napríklad na strunách hudobných nástrojov.

V kvantovej fyzike je významným javom stojaté vlnenie na uzavretej dráhe dĺžky, ktorá je násobkom vlnovej dĺžky, napríklad pravdepodobnostnej vlny elektrónu okolo jadra atómu.

Matematický popis

Pri stojatom vlnení dve vlny interferujú tak, že miesta konštruktívnej a deštruktívnej interferencie sú lokalizované. Na miestach, kde má deštruktívna interferencia maximum, sa hodnoty vlnovej funkcie odčítajú a hodnota výslednej vlnovej funkcie sa zvyčajne mení minimálne alebo vôbec (tieto body sa nazývajú uzly). Na miestach, kde má konštruktívna interferencia maximum, sa hodnoty vlnovej funkcie sčítajú a hodnota výslednej vlnovej funkcie sa zvyčajne mení maximálne (tieto body sa nazývajú protiuzly).

Jednoduchá vlnová funkcia má tvar:

$y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\,$

kde:

• y₀ je amplitúda vlny,
• ω (je uhlová rýchlosť, vyjadrená v radiánoch za sekundu) je 2π-krát frekvencia (v hertzoch),
• k (zvané vlnočet a merané radiánoch na meter) je 2π delené vlnovou dĺžkou λ (v metroch), a
• x a t sú premenné pre polohu a čas.

V prípade stojatého vlnenia interaguje s vlnením s rovnakou vlnovou dĺžkou. Predpokladajme dokonalý odraz a teda tiež rovnakú amplitúdu:

$y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).$

Výsledná vlna má potom funkciu:

$y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).$

Použitím trigonometrických identít môžeme rovnicu upraviť na tvar:

$y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).$

V tomto tvare je vidno, že závislosť na polohe určuje maximum, akú môže funkcia dosiahnuť v ľubovoľnom čase, takže poloha miest s maximálnou amplitúdou kmitov sa nemení v čase.