Stopa matice

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Stopa matice alebo diagonálny súčet alebo sled je v lineárnej algebre súčet členov na hlavnej diagonále matice. Matica musí byť štvorcová, musí mať teda n stĺpcov a n riadkov.

Značenie[upraviť | upraviť zdroj]

Stopu matice o jednotlivých prvkoch môžeme označiť týmito ekvivalentnými spôsobmi:

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme štvorcovú maticu nad poľom s členmi:

stopu tejto matice definujeme nasledujúcim predpisom:

.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Majme štvorcové matice , a nad poľom o rovnakom rozmere ×. Potom platia nasledujúce vlastnosti:

  • Stopa reálnej alebo komplexnej matice je rovná sume jej vlastných hodnôt (zarátaných s danou násobnosťou). V charakteristickom polynóme vystupuje ako druhý koeficient. Má preto podobný význam ako determinant, ktorý je rovný súčinu vlastných hodnôt (umocnených s danou násobnosťou).
  • Stopa je lineárne zobrazenie ( a patria poľu ), to znamená:
.
  • Z predošlej vlastnosti plynie, že stopa je invariantná voči transformáciam báze pomocou nesingulárnej matice :
.
  • Pre všetky reálne alebo komplexné matice rozmeru platí:
  • Pre transponovanú maticu platí: