Suprémum

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Suprémum znamená aj všeobecne jav či prvok najbližší z ďalších nasledujúcich.

Suprémum množiny reálnych čísel je číslo také, ktoré je najmenším horným ohraničením. Horné ohraničenie je číslo väčšie alebo rovné ľubovoľnému prvku množiny . Supremum označujeme .

Najväčšie dolné ohraničenie nazývame infimum.

Definičné vlastnosti superéma[upraviť | upraviť kód]

  1. Keďže je horným ohraničením množiny , musí platiť pre všetky z množiny .
  2. má byť najmenším horným ohraničením. Ak ho zmenšíme o ľubovoľnú kladnú hodnotu , dostaneme , čo už nesmie byť horným ohraničením.

Príklad[upraviť | upraviť kód]

Majme množinu . Ukážeme, že je jej suprémom.

  1. Musí platiť, že , čo je pravda pre každé prirodzené číslo .
  2. Musí platiť, že pre každé nebude hodnota horným ohraničením množiny . Teda má existovať také , pre ktoré bude väčšie ako . Hodnoty môžeme zapísať ako , takže ekvivalentne možno povedať: Má existovať také , že . Postupnými úpravami dospejeme k nerovnosti , čo má určite celočíselné riešenie.