Symetrická diferencia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Vennov diagram pre .
Symetrická diferencia množín je
zjednotenie množín bez ich prieniku.
Venn0111.svg Venn0001.svg Venn0110.svg
Vennov diagram pre

Venn 0110 0110.svg Venn 0000 1111.svg Venn 0110 1001.svg

Symetrická diferencia alebo symetrický rozdiel dvoch množín je v teórii množín množina tých prvkov, ktoré patria práve do jednej z množín. Obsahuje teda všetky prvky z oboch množín, ktoré sa nenachádzajú v ich prieniku.[1]

Symetrická diferencia množín A a B sa značí ako

[1]

alebo

 [chýba zdroj]

alebo

 [chýba zdroj]

Napríklad symetrická diferencia množín a je množina . Symetrická diferencia množín dievčat a študentov je množina všetkých dievčat, ktoré nie sú študentky a všetkých chlapcov študentov.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Symetrická diferencia je ekvivalentná so zjednotením oboch rozdielov množín:

[1]

a môže byť tiež vyjadrená ako zjednotenie dvoch množín bez ich prieniku:

[2]

alebo cez prvky pomocou logickej operácie XOR:

[1]

Z definície vyplýva, že symetrická diferencia je vždy (vlastnou alebo nevlastnou) podmnožinou zjednotenia množín:

pričom rovnosť v tejto neostrej inklúzii platí vtedy a len vtedy, ak a disjunktné množiny.

Symetrická diferencia je komutatívna a asociatívna:

[1]

Prienik je distributívny nad symetrickou diferenciou:

[2]

Prázdna množina je neutrálnym prvkom symetrickej diferencie a každá množina je svojím vlastným inverzným prvkom vzhľadom na symetrickú diferenciu:

[1]

Potenčná množina každej množiny sa teda stáva abelovskou grupou so symetrickou diferenciou ako operáciou a prázdnou množinou ako neutrálnym prvkom, kde neutrálny prvok a každý ďalší prvok grupy je svojím vlastným inverzným prvkom.[2]

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. a b c d e f SLEZIAK, Martin. 2-UMA-115 Teória množín [online]. Bratislava : Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK, 2011-11-16, [cit. 2018-07-22]. S. 27 – 29. Dostupné online.
  2. a b c Symmetric difference [online]. PlanetMath, [cit. 2018-07-23]. Dostupné online.

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Symetrická diference na českej Wikipédii.