Szemerédiho veta

Szemerédiho veta hovorí, že každá podmožina prirodzených čísel s kladnou hornou asymptotickou hustotou obsahuje konečné aritmetické postupnosti lubobovolnej dĺžky. Szemerédiho veta zovšeobecnuje van der Waerdenovu vetu.

História

Tvrdenie Szemerédiho vety navrhol ako zaujímavú hypotézu Paul Erdős a Paul Turán v roku 1936.

História postupného dokazovania Szemerédiho vety sa odvíja od maximálnej dĺžky $k$ konečných aritmetických podpostupností ktoré predchodcovia Szemerédiho vety v podmnožine prirodzených čísel garantovali.

Prípady $k=1$ a $k=2$ , teda tvrdenia garantujúce existenciu jedno a dvojprvkových postupností sú triviálne, pretože lubovoľné číslo alebo lubovoľná dvojica čísel tvorí triviálnu konečnú aritmetickú postupnosť.
Prípad $k=3$ zodpovedal pozitívne Klaus Roth v roku 1956.
Prípad $k=4$ pozitívne zodpovedal Endre Szemerédi v roku 1969.
V roku 1972 prípad $k=4$ vyriešil aj Roth použijúc metódu podobnú tej, ktorou predtým vyriešil prípad $k=3$ .
Pre lubovoľné $k$ tvrdenie nakoniec dokázal Szemerédi v roku 1975.
V roku 1977 podal Hillel Furstenberg doležitý alternatívny dôkaz Szemerédiho vety založený na ergodickej teórii.
V roku 2001 podal Timothy Gowers iný alternatívny dôkaz.

Pozri aj