Trajektória (krivka)

Trajektória telesa v gravitačnom poli vrhnutého troma odlišnými rýchlosťami pod tým istým uhlom.

Trajektória alebo dráha je čiara, ktorú opisuje fyzický objekt pri pohybe priestorom. Jedná sa teda o množinu všetkých polôh, ktoré teleso počas rôznych časových okamihoch pohybu zaujíma.

Trajektóriou môže byť priamka, kružnica, elipisa, hyperbola alebo akákoľvek iná hladká krivka. Podľa tvaru trajektórie môžeme rozdeliť pohyb na:

• priamočiary, ak je trajektória priamkou;
• krivočiary, ak je trajektória všeobecnou krivkou.

Dĺžka trajektórie sa taktiež nazýva dráha a značí sa $s$. Je to vzdialenosť, ktorú hmotný bod opíše za nejakú určitú dobu, jedná sa teda o funkciu času: $s=s(t)$. Matematický výraz, ktorý určuje dráhu v závislosti od času sa nazýva zákonom dráhy.

Matematicky je trajektória pohybu hmotného bodu úplne určená diferencovateľnou funkciou $\mathbf {f} :I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R^{3}}$, ktorá každému časovému okamihu $t\in I$ z nejakého intervalu $I$ jednoznačne priradí polohu v priestore $\mathbf {r}$, t.j. $\mathbf {r} =\mathbf {f} (t)$. Diferencovateľnosť funkcie $\mathbf {f}$ je nevyhnutná pre existenciu okamžitej rýchlosti.

Kinematika trajektórií

Matematicky je fyzický priestor modelovaný ako trojrozmerný euklidovský priestor a čas je jednorozmerný. Výberom konkrétnej vzťažnej sústavy môžeme polohu ľubovoľného hmotného bodu opísať trojzormerným polohovým vektorom $\mathbf {r}$. Trajektóriu daného hmotného bodu dostaneme tak, že každému času $t$ priradíme polohu v priestore $\mathbf {r} (t)$, t.j. trajektória je úplne určená priradením $t\mapsto \mathbf {r} (t)$. Takýmto štúdiom pohybu, pričom sa nepozeráme na dôvod pohybu ale na pohyb ako celok, sa zaoberá kinematika.

Okamžitá rýchlosť a dráha

Kinematické veličiny hmotného bodu. Popri okamžitej rýchlosti $\mathbf {v}$môžeme na obrázku vidieť aj okamžité zrýchlenie $\mathbf {a}$, ktoré je definované analogicky ako okamžitá rýchlosť.

Uvažujme polohy hmotného bodu v časoch $t$ a $t+\Delta t$, t.j. $\mathbf {r} (t)$ a $\mathbf {r} (t+\Delta t)$. Hmotný bod sa pri pohybe medzi týmito dvoma bodmi pohyboval priemernou rýchlosťou rovnou rozdielu polôh podelenou časovým rozdielom medzi danými polohami. Symbolicky:

${\bar {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {r} (t+\Delta t)-\,\mathbf {r} (t)}{\Delta t}}$.

Ak budeme uvažovať stále menšie a menšie časové rozdiely $\Delta t$ medzi uvažovanými bodmi, teda, ak prejdeme k limite $\Delta t\to 0$, dostávame okamžitú rýchlosť $\mathbf {v} (t)$ v čase t definovanú ako

$\mathbf {v} (t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\bar {\mathbf {v} }}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+\Delta t)-\,\mathbf {r} (t)}{\Delta t}}$.

Matematicky sa jedná o deriváciu funkcie $\mathbf {r} (t)$. Rozdiel $\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)$ je pre veľmi malé $\Delta t$ (ktorý v takomto prípade zapisujeme ako ${\text{dt}}$) tiež veľmi malý a píšeme ho ako ${\text{d}}\mathbf {r}$. Okamžitá rýchlosť je potom podiel týchto dvoch infinitesimálnych (t.j. nekonečne malých) veličín:

$\mathbf {v} ={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{\text{dt}}}$.

Veľkosť infinitesimálneho vektora ${\text{d}}\mathbf {r}$ môžeme chápať ako vzdialenosť medzi bodmi $\mathbf {r} (t)$ a $\mathbf {r} (t+{\text{dt}})$. Sumáciou týchto malých príspevkov ${\text{ds}}:=|{\text{d}}\mathbf {r} |$ dostávame dĺžku $s$ trajektórie alebo dráhu. Matematicky sa jedná o integrál funkcie $\mathbf {r} (t)$:

$s=\int {\text{ds}}=\int {\frac {\text{ds}}{\text{dt}}}{\text{dt}}=\int \left|{\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{\text{dt}}}\right|{\text{dt}}=\int v{\text{dt}}$,

kde

$v:=\left|{\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{\text{dt}}}\right|={\frac {\text{ds}}{\text{dt}}}$

je veľkosť okamžitej rýchlosti.

Fyzika trajektórií

Známým príkladom trajektórií sú trajektórie malých projektilov, ktoré môžeme modelovať ako hmotné body (častice). V najjednoduchšom priblížení sa jedná o pohyb hmotného bodu v homogénnom silovom poli (napr. gravitačné pole pri povrchu Zeme), v tomto prípade je trajektóriou parabola. Ak chceme modelovať pohyb projektilov presnejšie, museli by sme započítať nehomogénnosť gravitačného poľa Zeme, odporvé sily pri pohybe vo vzduchu, či nenulové rozmery projektilu. Štúdiu pohybu projektilov sa venuje balistika.

Ak sa obmedzíme na jednoduchší model, v ktorom opisujeme fyzikálne objekty ako hmotné body, t.j. zanedbávamé rozmery telies, tak trajektóriu úplne opíšeme polohovým vektorom ako funkciou času. Sir Isaac Newton poskytol rovnice, ktoré nám umožnia zistiť tvar trajektórie pohybujúceho sa hmotného bodu. Jedná sa o druhý Newtonov pohybový zákon, ktorý vraví, že častica s polohovým vektorom $\mathbf {r}$ a hmotnosťou $m$ sa bude pohybovať tak, že jej polohový vektor vyhovuje obyčajnej diferenciálnej rovnici

$m{\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} (t)}{{\text{dt}}^{2}}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)$,

kde $\mathbf {a$ :={\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{dt}}^{2}}}} je zrýchlenie pohybujúcej sa častice.

Významným úspechom Newtonovej mechaniky bolo úspešné matematické odvodenie Keplerových zákonov planetárneho pohybu, podľa ktorých sa planéty pohybujú okolo slnka po elipsách málo odlišných od kružníc a Slnko je v ohnisku týchto elíps. Newtonove pohybové zákony spolu s Newtonovým gravitačným zákonom umožňujú odvodiť túto skutočnosť pre tvar trajektórie planét.

Pozri aj

• Dráha
• Kinematika