Usporiadaná dvojica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Usporiadaná dvojica je, voľne povedané, matematický objekt obsahujúci dva jednoduchšie objekty a informáciu o tom, ktorý z týchto objektov je prvý, a ktorý je druhý. Usporiadaná dvojica sa často označuje symbolom kde je prvý objekt usporiadanej dvojice a je druhý objekt usporiadanej dvojice.

V matematike má množstvo javov prirodzenú štruktúru usporiadanej dvojice. Tak napríklad, karteziánske súradnice bodu v rovine tvoria usporiadanú dvojicu, prvým objektom je v nej x-ová súradnica a druhým objektom y-ová súradnica bodu. V tomto príklade je dôležité, že dvojica súradníc je usporiadaná - nebyť usporiadanosti nebolo by možné rozoznať, ktorý objekt v dvojici je x-ová a ktorý je y-ová súradnica. Jav usporiadanej dvojice je bežný aj v každodennom živote. Napríklad, informáciu o tom, kto je koho potomkom v množine žijúcich ľudí možno formalizovať pomocou usporiadaných dvojíc. Usporiadanú dvojicu potom možno interpretovať ako tvrdenie "človek je potomkom človeka ". Aj tu je podstatný fakt, že dvojica je usporiadaná - keby usporiadaná nebola, nebolo by jasné či znamená, že je potomkom alebo, že je potomkom .

Formálna definícia[upraviť | upraviť kód]

V matematike sa pojem usporiadanej dvojice definuje rôzne, v závislosti od toho v akom kontexte sa definícia ďalej používa. Pre ktorúkoľvek zvolenú definíciu je podstatné hlavne to, aby platila základná vlastnosť usporiadaných dvojíc

ktorá hovorí, že usporiadané dvojice sa zhodujú vtedy, keď sa zhodujú na prvej aj na druhej súradnici. (T.j. usporiadaná dvojica je jednoznačne určená prvým a druhým prvkom.)

Pre svoju jednoduchosť je populárna napríklad Kuratowského definícia, podľa ktorej je usporiadaná dvojica špeciálnou dvojprvkovou množinou:

Ak pri tejto definícii máme rovnosť , tak to znamená, že . V prípade, že máme na ľavej strane rovnosti množinu a dostaneme , z čoho vyplýva, že . Ak , tak množina obsahuje jednu jednoprvkovú a jednu dvojprvkovú množinu. Pretože je rovná niektorému z prvkov tejto množiny a máme tu iba jednu jednoprvkovú množinu, dostávame a . Potom musí platiť aj , z čoho už vieme odvodiť aj . Teda pri Kuratowského definícii usporiadané dvojice z rovnosti skutočne vyplýva a .

Pozri aj[upraviť | upraviť kód]