Vesica piscis

Vesica piscis.

Vesica piscis je geometrický útvar tvorený prienikom dvoch kružníc ${\textstyle k_{1}}$ a $k_{2}$ s rovnakým polomerom, ktoré sa pretínajú takým spôsobom, že stred kružnice ${\textstyle k_{1}}$ leží na kružnici $k_{2}$ a opačne. Respektíve vzdialenosť stredov kružníc ${\textstyle k_{1}}$ a $k_{2}$ je rovná ich polomerom.

Názov pochádza z latinského jazyka, v ktorom označuje plávací vzduchový mechúr väčšiny rýb, ktorý sa na tento geometrický tvar veľmi podobá.

Tento geometrický útvar už skúmal Archimedes zo Syrakúz, ktorý prišiel na to, že pomer výšky a šírky vesica piscis je druhá odmocnina čísla tri, ktorú stanovil nerovnicou ${\textstyle {\frac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\frac {265}{153}}}$ .

Vlastnosti

Vesica piscis je tvorená dvomi rovnostrannými trojuholníkmi ${\textstyle \triangle ABC}$ a ${\textstyle \triangle ABD}$, ktorých strany sú rovné polomeru kružníc a štyrmi kruhovými úsečami, ktorých tetivy sú taktiež rovné polomeru kružníc.

Obsah vesica piscis je tvorený súčtom dvoch vzorcov pre výpočet obsahu rovnostranného trojuholníka ${\textstyle \left(S_{\triangle }={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}\right)}$ kde ${\textstyle (a=r)}$ a štyroch kruhových úsečí ${\textstyle \left(S_{KU}={\frac {1}{2}}r^{2}\left({\frac {\pi \alpha }{180}}-\sin(\alpha )\right)\right)}$ kde ${\textstyle (\alpha =60^{\circ })}$. Vzorec pre obsah vesica piscis po úpravách uvedených vzorcov teda znie

$S_{VP}=2S_{\triangle }+4S_{KU}={\frac {1}{6}}(4\pi -3{\sqrt {3}})r^{2}\approx 1.2284r^{2}$.

Pomer úsečiek ${\textstyle |AB|}$ a ${\textstyle |CD|}$ (viď ilustrácia) je vždy konštantný a dá sa vyjadriť pomerom ${\textstyle {\text{polomer}}:2\times {\text{výška }}\triangle ABC}$, čo je ${\textstyle r:{\frac {2r{\sqrt {3}}}{2}}}$, čo je približne ${\textstyle 1:1.732}$.

Referencie

Matematický portál