Pri tejto lineárnej transformácií červená šípka zmení smer, ale modrá šípka nie. Modrá šípka je teda vlastný vektor tejto lineárnej transformácie, pretože nemení smer, a keďže dĺžka tohto vektora zostáva nezmenená, jej vlastná hodnota je 1 Vlastné vektory a vlastné hodnoty (alebo vlastné čísla ) sú matematické pojmy používané v lineárnej algebre , ktoré charakterizujú špecifické vektory , ktoré pri pôsobení lineárnej transformácie nemenia svoj smer, no môžu zmeniť orientáciu alebo veľkosť. Matematicky to možno zapísať ako
T
v
=
λ
v
{\displaystyle T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }
[ 1] kde
T
{\displaystyle T}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
λ
{\displaystyle \lambda }
Nech
A
{\displaystyle A}
matica veľkosti
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
poľom
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
v
∈
R
n
{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}
v
∈
C
n
{\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{n}}
A
{\displaystyle A}
λ
∈
R
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
A
v
=
λ
v
{\textstyle Av=\lambda v}
[ 2] Číslo
λ
{\displaystyle \lambda }
A
{\displaystyle A}
v
{\displaystyle v}
A
{\displaystyle A}
determinantu :
det
(
A
−
λ
I
)
=
0
{\displaystyle \det(A-\lambda I)=0}
kde
I
{\displaystyle I}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
homogénnej sústavy lineárnych rovníc :
(
A
−
λ
I
)
v
=
0
{\displaystyle (A-\lambda I)v=0}
Nech
A
=
[
1
2
4
−
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\4&-1\end{bmatrix}}}
Najskôr treba určiť vlastné čísla matice. Vlastné čísla sú riešenia charakteristickej rovnice, ktorá je získaná z rovnice
det
(
A
−
λ
I
)
=
0
{\textstyle \det(A-\lambda I)=0}
d
e
t
(
[
1
2
4
−
1
]
−
λ
[
1
0
0
1
]
)
=
0
{\displaystyle det({\begin{bmatrix}1&2\\4&-1\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}})=0}
d
e
t
(
[
1
2
4
−
1
]
−
[
λ
0
0
λ
]
)
=
0
{\displaystyle det({\begin{bmatrix}1&2\\4&-1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{bmatrix}})=0}
|
(
1
−
λ
)
2
4
(
−
1
−
λ
)
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}(1-\lambda )&2\\4&(-1-\lambda )\end{vmatrix}}=0}
(
1
−
λ
)
(
−
1
−
λ
)
−
8
=
0
{\displaystyle (1-\lambda )(-1-\lambda )-8=0}
λ
2
−
9
=
0
{\displaystyle \lambda ^{2}-9=0}
Charakteristický polynóm matice
A
{\displaystyle A}
λ
2
−
9
{\displaystyle \lambda ^{2}-9}
λ
1
=
3
;
λ
2
=
−
3
{\displaystyle \lambda _{1}=3;\lambda _{2}=-3}
Následne možno vypočítať vlastný vektor. Pre vlastné číslo
λ
1
=
3
{\displaystyle \lambda _{1}=3}
(
[
1
2
4
−
1
]
−
3
×
[
1
0
0
1
]
)
[
x
y
]
=
0
{\displaystyle {\biggl (}{\begin{bmatrix}1&2\\4&-1\end{bmatrix}}-3\times {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\biggr )}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=0}
(
[
1
2
4
−
1
]
−
[
3
0
0
3
]
)
[
x
y
]
=
0
{\displaystyle {\biggl (}{\begin{bmatrix}1&2\\4&-1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}}{\biggr )}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=0}
[
−
2
2
4
−
4
]
[
x
y
]
=
0
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&2\\4&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=0}
Z tejto sústavy získame dve rovnice:
{
−
2
x
+
2
y
=
0
4
x
−
4
y
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}-2x+2y=0\\4x-4y=0\end{cases}}}
Tieto rovnice sú lineárne závislé , takže postačuje riešiť jednu z nich:
−
2
x
+
2
y
=
0
⟹
y
=
x
{\displaystyle -2x+2y=0\implies y=x}
Vlastné vektory teda majú tvar
[
x
y
]
=
x
×
[
1
1
]
;
x
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=x\times {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}};x\in \mathbb {R} \backslash \lbrace 0\rbrace }
λ
1
=
3
{\displaystyle \lambda _{1}=3}
[
1
1
]
T
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}^{T}}
↑ Eigenvector and Eigenvalue [online]. . Dostupné online. ↑ Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra . 5. vyd. [s.l.] : Wellesley-Cambridge Press. Dostupné online. 6: Eigenvalues and Eigenvectors. 
