Začiatočný moment

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Začiatočný moment alebo počiatočný moment je v matematickej štatistike jedna z charakteristík náhodnej premennej X, resp. jedna z charakteristík jej rozdelenia pravdepodobnosti. Zvyčajne sa táto charakteristika označuje nasledovne: \mu_k
Okrem iného sa začiatočné momenty spolu s centrálnymi momentmi využívajú pri definovaní charakteristík šikmosti a charakteristík špicatosti (koeficient šikmosti a špicatosti).

Ako vidno z nasledujúcej definície, stredná hodnota náhodnej premennej je prvý začiatočný moment náhodnej premennej.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech X^k, kde k je ľubovoľné prirodzené číslo, je integrovateľná náhodná premenná. Potom sa číslo

\mu_k = \operatorname E[X^k]

nazýva k-ty všeobecný začiatočný moment (resp. začiatočný všeobecný moment) náhodnej premennej X.

Číslo

\mu_k^\prime = E[|X|^k]

sa potom nazýva k-ty absolútny začiatočný moment (resp. začiatočný absolútny moment).

Špeciálne[upraviť | upraviť zdroj]

Teda podľa definície môžeme vyjadriť začiatočné momenty pre náhodné premenné nasledovne:

Ak X je diskrétna náhodná premenná, tak potom:

\mu_k = \sum_{i=1}^\infty x_{i}^{k}P(x_{i})

Ak X je spojitá náhodná premenná, tak potom:

\mu_k = \int_{E^1} x^{k}f(x)\operatorname{d}x

kde f(x) je hustota pravdepodobnosti danej náhodnej veličiny a  E^1 je jednorozmerný euklidovský priestor.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Štatistické analýzy.. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory., s. 344.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150.
  • ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : Alfa, vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Základy pravdepodobnosti, s. 288.
  • PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.