Suprémum

Suprémum znamená aj všeobecne jav či prvok najbližší z ďalších nasledujúcich.

Suprémum množiny reálnych čísel $A$ je číslo $K$ také, ktoré je najmenším horným ohraničením. Horné ohraničenie je číslo väčšie alebo rovné ľubovoľnému prvku množiny $A$. Supremum označujeme $K=\sup A$.

Najväčšie dolné ohraničenie nazývame infimum.

Definičné vlastnosti superéma

1. Keďže $K$ je horným ohraničením množiny $A$, musí platiť $a<K$ pre všetky $a$ z množiny $A$.
2. $K$ má byť najmenším horným ohraničením. Ak ho zmenšíme o ľubovoľnú kladnú hodnotu $\varepsilon$, dostaneme $K-\varepsilon$, čo už nesmie byť horným ohraničením.

Príklad

Majme množinu $A=\left\{{\frac {0}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},\dots \right\}=\left\{{\frac {n-1}{n}},n\in \mathbb {N} \right\}$. Ukážeme, že $1$ je jej suprémom.

1. Musí platiť, že ${\frac {n-1}{n}}=1-{\frac {1}{n}}<1$, čo je pravda pre každé prirodzené číslo $n$.
2. Musí platiť, že pre každé $\varepsilon >0$ nebude hodnota $1-\varepsilon$ horným ohraničením množiny $A$. Teda má existovať také $a\in A$, pre ktoré bude väčšie ako $1-\varepsilon$. Hodnoty $a$ môžeme zapísať ako ${\frac {n-1}{n}}$, takže ekvivalentne možno povedať: Má existovať také $n\in \mathbb {N}$, že ${\frac {n-1}{n}}>1-\varepsilon$. Postupnými úpravami dospejeme k nerovnosti $n>{\frac {1}{\varepsilon }}$, čo má určite celočíselné riešenie.