Hausdorffova miera: Rozdiel medzi revíziami
d robot Pridal: ca:Dimensió d'Hausdorff |
d robot Zmenil: ca:Dimensió de Hausdorff; kozmetické zmeny |
||
Riadok 28: | Riadok 28: | ||
<math>(iii)\bold{H}^s</math> je Borelova miera.<br /><br /> |
<math>(iii)\bold{H}^s</math> je Borelova miera.<br /><br /> |
||
Dalšie zaujímavé vlastnosti:<br /><br /> |
Dalšie zaujímavé vlastnosti:<br /><br /> |
||
<math>(i)\bold{H}^0</math> je |
<math>(i)\bold{H}^0</math> je čítacia miera.<br /> |
||
<math>(ii)\bold{H}^1=\bold{L}^1</math> na <math>\mathbb{R}^n</math>, kde <math>\bold{L}^1</math> je Lebesgueova miera.<br /> |
<math>(ii)\bold{H}^1=\bold{L}^1</math> na <math>\mathbb{R}^n</math>, kde <math>\bold{L}^1</math> je Lebesgueova miera.<br /> |
||
<math>(iii)\bold{H}^s=0</math> na <math>\mathbb{R}^n</math> pre všetky <math>\bold{s>n}</math>.<br /> |
<math>(iii)\bold{H}^s=0</math> na <math>\mathbb{R}^n</math> pre všetky <math>\bold{s>n}</math>.<br /> |
||
Riadok 38: | Riadok 38: | ||
* Steven G. Krantz: ''Measure Theory and Fine Properties of Functions'', CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0. |
* Steven G. Krantz: ''Measure Theory and Fine Properties of Functions'', CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[bg:Хаусдорфова размерност]] |
[[bg:Хаусдорфова размерност]] |
||
[[ca:Dimensió |
[[ca:Dimensió de Hausdorff]] |
||
[[cs:Hausdorffova míra]] |
[[cs:Hausdorffova míra]] |
||
[[de:Hausdorff-Dimension]] |
[[de:Hausdorff-Dimension]] |
Verzia z 22:35, 21. december 2009
V matematike, Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia) je nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré može byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.
Hausdorffova miera (ďalej označena ) je "dolnodimenzionalnou" mierou na , ktorá nám dovoluje merať isté "veľmi malé" podmnožiny . Základnou myšlienkou je, že množina je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny , kde platí
, i keď je veľmi komplikovaná. je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.
Definicia Hausdorffovej miery
Definicia: Nech definujeme
kde
tuto
je obyčajná gamma funkcia.
Pro a s vlastnosťami jako vyššie, definujeme:
nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na .
Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie
je Borelova regulárna miera pre , nieje ale Radonova miera.
Z toho vyplýva toto:
je miera.
je miera.
je Borelova miera.
Dalšie zaujímavé vlastnosti:
je čítacia miera.
na , kde je Lebesgueova miera.
na pre všetky .
pre všetky .
pre všetky afinní izometrie .
Literatúra
- Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.