Geometria

Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými Grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa zaoberal vzťahmi v priestore. Najstaršie známky geometrie sa dajú sledovať už v starovekom Egypte. Rindský papyrus popisuje zarážajúco presný spôsob výpočtu aproximácie čísla Pí, s chybou menšou ako jedna stotina. Rindský papyrus tiež popisuje jeden z prvých pokusov kvadratúry kruhu, ako aj istú analógiu kotangesu.

Ľudia zo skúsenosti alebo možno intuitívne charakterizujú priestor tými istými základnými vlastnosťami, ktoré sú zachytené axiómami geometrie. Z týchto axiómov a definícií bodu, priamky, krivky, povrchov a telies sa potom odvádzajú vety, ktoré tvoria teóriu geometrie.

Geometrie bola jedna z prvých disciplín matematiky vôbec, čo je dané jej možnosťami okamžitej praktickej aplikácie. Takisto je to prvá disciplína, ktorá bola postavená na axiomatickej báze, ktorú rozpracoval Euklides. Grékov zaujímalo veľa otázok o konštrukciách pravítkom a kružidlom. Na ďalší významný pokrok v geometrii si však ľudstvo muselo počkať jedno tisícročie. Týmto pokrokom bola analytická geometria, v ktorej definujeme súradnicové sústavy a body reprezentujeme usporiadanými n-ticami. Táto algebraická reprezentácia umožnila doslova fascinujúce veci a okrem iného dovoľuje skonštruovať celkom nové geometrie odlišné od štandardnej euklidovskej.

Ústredný pojem v geometrii je kongruencia. V euklidovskej geometrii hovoríme, že dva útvary sú kongruentné, ak sa dá zobraziť jeden na druhý pomocou postupnosti symetrií, otočení a posunutí.

Iné geometrie môžeme skonštruovať zvolením nového základaného vektorového priestoru (euklidovská geometria používa reálny euklidovský vektorový priestor so štandardnou euklidovskou metrikou) alebo zvolením novej grupy transformácií (euklidovská geometria používa nehomogénne ortogonálne transformácie). Druhý pohľad sa nazýva Erlangenský program. Vo všeobecnosti zrejme platí, že čím viac kongruencií máme, tým menej invariantov bude existovať. Napríklad v afinnnej geometrii sú povolené všetky lineárne transformácie a tak vzdialenosti a uhly už nie sú invarianty (ale kolinearita je).

Diskrétna forma geometria spadá pod Pickovu vetu. Pickova veta používa bodkovaný papier a dáva vzorec na výpočet obsahu zložitých útvarov.

Názory filozofov na geometriu

Klein

Geometria je podľa Kleina teória invariantov určitej grupy transformácií (zobrazení).

Táles

Táles, ktorý prvý navštívil Egypt, priniesol do Grécka geometriu.

Externé odkazy

• What Is Geometry?
• Geometria An online tool to compute lines, surfaces and volumes of the main plane and solid figures, through direct and indirect formulas.
• Geometry Step by Step from the Land of the Incas by Antonio Gutierrez.
• Geometry. From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
• Islamic Geometry
• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Finitism in Geometry
  • Geometry in the 19th Century
• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.
• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.