Osová súmernosť: Rozdiel medzi revíziami
d Revízia 3614959 používateľa 87.197.58.153 (diskusia) bola vrátená |
|||
Riadok 2: | Riadok 2: | ||
'''Osová súmernosť''' alebo '''zrkadlový obraz''' určený osou o, je také [[zhodné zobrazenie]] v [[rovina|rovine]], ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ [[geometrické zobrazenie|geometrického zobrazenia]]. Osová súmernosť zachováva [[vzdialenosť|vzdialenosti]] a [[uhol|uhly]]. |
'''Osová súmernosť''' alebo '''zrkadlový obraz''' určený osou o, je také [[zhodné zobrazenie]] v [[rovina|rovine]], ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ [[geometrické zobrazenie|geometrického zobrazenia]]. Osová súmernosť zachováva [[vzdialenosť|vzdialenosti]] a [[uhol|uhly]]. |
||
== Veta == |
|||
sex sex sex sex a take kokotiny :D majova , danova kunda |
|||
Nech to je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo [[invariantnosť|invariantná]], a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti. |
|||
Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom [[os]] úsečky AA'. |
|||
[[Súbor:geom_shodnost_soumernost_osa.svg|thumb|250px|Osová súmernosť]] |
|||
[[Súbor:Symmetry.jpg|250px|right|thumb|Príklady osí súmerností objektov]] |
|||
* '''Osová súmernosť''' [[rovina|roviny]] alebo priestoru s [[priamka|priamkou]] ''o'' ako '''osou (súmernosti)''' je [[zobrazenie (matematika)|zobrazenie]], ktoré zobrazuje prvky osi ''o'' na sebe samej a [[bod]] <math>A</math> ležiaci mimo os ''o'' s [[priemet]]om <math>S</math> do osi ''o'' na bod <math>A^\prime</math>, ktorý sa nachádza na [[polpriamka|polpriamke]] opačnej k <math>SA</math> v rovnakej vzdialenosti od <math>S</math> ako bod <math>A</math> čiže matematicky <math>|SA| = |SA^\prime|</math> |
|||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
Verzia z 06:13, 4. máj 2011
Osová súmernosť alebo zrkadlový obraz určený osou o, je také zhodné zobrazenie v rovine, ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Osová súmernosť zachováva vzdialenosti a uhly.
Veta
Nech to je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo invariantná, a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti. Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom os úsečky AA'.
- Osová súmernosť roviny alebo priestoru s priamkou o ako osou (súmernosti) je zobrazenie, ktoré zobrazuje prvky osi o na sebe samej a bod ležiaci mimo os o s priemetom do osi o na bod , ktorý sa nachádza na polpriamke opačnej k v rovnakej vzdialenosti od ako bod čiže matematicky
Vlastnosti
- Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za osovo súmerný, ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti potom nazývame os objektu.
- Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojim obrazom.
- Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojim obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body.
- Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty.
- Osová súmernosť je involúciou.
- Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o).
- Každá priamka kolmá na os súmernosti je invariantná.
- Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba inverzným obrazom - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká identita.
- Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak.
- Osová súmernosť je v priestore zhodná s otočením o 180 stupňov podľa rovnakej osi.
- Body ležiace na osi súmernosti sú samodružnými bodmi. Všetky priamky kolmé k osi súmernosti sú samodružnými priamkami.
Príklad
- Všetky pravidelné mnohouholníky sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Napr. rovnostranný trojuholník má tri osi súmernosti, štvorec štyri, pravidelný šesťuholník šesť.
- Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou.
- Rovnoramenný trojuholník, ktorý nie je rovnostranný, má jednu os súmernosti.
- Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný.
- Hyperbola, elipsa a parabola sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov.
- Kocka, guľa, kužeľ a valec sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru.
- Ihlan je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.