Postupnosť (matematika): Rozdiel medzi revíziami
d robot Pridal: pms, eu, bs, ko, he, ta, hu, ms, it, gl, et, ml, vi, el, simple, scn, ar, sv, eo, is, ru, hy, xal, sr, tr, no, ro, th, ca, mk, fi, uk, la, cs, bg, fa, ka, ur, hr, da Odobral: id:Barisan (deleted) Zmenil: pt |
d r2.5.2) (robot Zmenil: ja:列 (数学); kozmetické zmeny |
||
Riadok 7: | Riadok 7: | ||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
||
Postupnosť je |
Postupnosť je |
||
*''neklesajúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i \ge a_{i-1}</math>, |
* ''neklesajúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i \ge a_{i-1}</math>, |
||
*''nerastúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i \le a_{i-1}</math>, |
* ''nerastúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i \le a_{i-1}</math>, |
||
*''rastúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i > a_{i-1}</math>, |
* ''rastúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i > a_{i-1}</math>, |
||
*''klesajúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i < a_{i-1}</math>, |
* ''klesajúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i < a_{i-1}</math>, |
||
*''zdola ohraničená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>L \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \ge L</math>, |
* ''zdola ohraničená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>L \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \ge L</math>, |
||
*''zhora ohraničená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>K \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \le K</math>. |
* ''zhora ohraničená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>K \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \le K</math>. |
||
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je ''monotónna'', ak je rastúca alebo klesajúca, je ''rýdzo monotónna''. |
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je ''monotónna'', ak je rastúca alebo klesajúca, je ''rýdzo monotónna''. |
||
Riadok 20: | Riadok 20: | ||
== Limita == |
== Limita == |
||
Hovoríme, že postupnosť |
Hovoríme, že postupnosť |
||
*''konverguje'', ak má konečnú [[limita|limitu]] (napr. <math>1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots</math> konverguje k 0), |
* ''konverguje'', ak má konečnú [[limita|limitu]] (napr. <math>1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots</math> konverguje k 0), |
||
*''diverguje'', ak má nekonečnú limitu (napr. <math>1, 2, 3, \ldots</math> diverguje k <math>\infty</math>), |
* ''diverguje'', ak má nekonečnú limitu (napr. <math>1, 2, 3, \ldots</math> diverguje k <math>\infty</math>), |
||
*''osciluje'', ak limitu nemá (napr. <math>1, -1, 1, -1, \ldots</math>). |
* ''osciluje'', ak limitu nemá (napr. <math>1, -1, 1, -1, \ldots</math>). |
||
== Vybraná postupnosť == |
== Vybraná postupnosť == |
||
Riadok 61: | Riadok 61: | ||
[[is:Runa]] |
[[is:Runa]] |
||
[[it:Successione (matematica)]] |
[[it:Successione (matematica)]] |
||
[[ja: |
[[ja:列 (数学)]] |
||
[[ka:მიმდევრობა]] |
[[ka:მიმდევრობა]] |
||
[[ko:수열]] |
[[ko:수열]] |
Verzia z 08:25, 9. september 2011
Postupnosť (symbol je alebo len (an) či {an} ) je ľubovoľná funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je podmnožina prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.
Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., m}, kde m je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel.
Ak sú členmi postupnosti čísla hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie hovoríme o funkcionálnej postupnosti.
Vlastnosti
Postupnosť je
- neklesajúca, ak pre všetky i platí ,
- nerastúca, ak pre všetky i platí ,
- rastúca, ak pre všetky i platí ,
- klesajúca, ak pre všetky i platí ,
- zdola ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí ,
- zhora ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí .
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.
Limita
Hovoríme, že postupnosť
- konverguje, ak má konečnú limitu (napr. konverguje k 0),
- diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. diverguje k ),
- osciluje, ak limitu nemá (napr. ).
Vybraná postupnosť
Ak je postupnosť (všobecne reálnych) čísiel a rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z (inými slovami, z vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).
Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je obmedzená postupnosť v , potom z nej možno vybrať postupnosť , ktorá je konvergentná