Stredová súmernosť: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verzia z 18:28, 5. december 2011

Stredová súmernosť alebo zrkadlový obraz určený bodom S, je také zhodné zobrazenie v rovine, alebo v trojrozmernom priestore, ktoré bodu S (nazývanému stred zobrazenia) priradí ten istý bod, a k bodu A ktorý neleží v bode S priradí bod A’, pričom zároveň platí: vzdialenosť [A, S]=[A’,S] a úsečka [A, A’] leží na priamke prechádzajúcej bodom S. Stredová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Stredová súmernosť zachováva vzdialenosti a uhly, ide teda o jedno zo zhodných zobrazení v rovine (alebo priestore).

Definícia

Stredová súmernosť priamky, roviny alebo priestoru so stredom v bode $S$ (tzv. stred súmernosti) je také zobrazenie, ktoré zobrazuje stred $S$ na seba samého a bod $A$ rôzny od $S$ na bod $A^{\prime }$ , ktorý sa nachádza na polopriamke opačnej k $SA$ v rovnakej vzdialenosti od $S$ ako bod $A$ (čiže pre neho platí $|SA|=|SA^{\prime }|$ ).

Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za stredovo súmerný, pokiaľ je v nejakej stredovej súmernosti obrazom samého seba. Stred tejto stredovej súmernosti potom nazývame stredom súmernosti objektu.

Príklady

Príklady bodovej symetrie v rovine

Úsečka alebo zjednotenie dvoch úsečiek rovnakej dĺžky je príkladom stredovo súmerných objektov na priamke.
- Oproti tomu žiadna polpriamka nie je na priamke stredovo súmerná.
Obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, pravidelný šesťuholník a kruh sú príkladmi stredovo súmerných geometrických útvarov v rovine.
- Oproti tomu žiaden mnohouholník s nepárnym počtom vrcholov (napr. trojuholník) nie je stredovo súmerný.
Hyperbola a elipsa sú stredovo súmerné rovinné útvary, ale parabola stredovo súmerná nie je.
Kocka, guľa, valec sú stredovo súmerné geometrické objekty v priestore.
- Naproti tomu žiaden ihlan ani kužeľ nie je stredovo súmerný.

Vlastnosti

Stredová súmernosť s pevne daným stredom je sama sebe inverzným zobrazením. Zložením dvoch stredových súmerností s rovnakým stredom vzniká identita.

Okrem vzdialeností zachováva stredová súmernosť v rovine i orientáciu – pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v stredovej súmernosti je opäť v smere hodinových ručičiek (čo napr. neplatí pre osovú súmernosť).

Stredová súmernosť so stredom v bode $S$ je v rovine zhodná s otočením o 180 stupňov podľa stredu $S$ . V priestore, nemá zmysel hovoriť o otočení okolo bodu, ale iba okolo osi.

Stredová súmernosť je involúciou, pretože bod $S$ je samodružný a každá priamka prechádzajúca týmto bodom je taktiež samodružná.

Pozri aj

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
 [[Image:Symetria srodkowa1.png|thumb|right|Stredovo súmerný útvar]]
-'''Stredová súmernosť''' alebo '''zrkadlový obraz''' určený bodom S, je také [[zhodné zobrazenie]] v [[rovina|rovine]], alebo v [[3D|trojrozmernom]] [[priestor|priestore]], ktoré bodu S (nazývanému stred zobrazenia) priradí ten istý bod, a k bodu A ktorý neleží v bode S priradí bod A’, pričom zároveň platí: vzdialenosť [A,S]=[A’,S] a úsečka [A,A’] leží na priamke prechádzajúcej bodom S. '''Stredová súmernosť''' je typ [[geometrické zobrazenie|geometrického zobrazenia]]. Stredová súmernosť zachováva [[vzdialenosť|vzdialenosti]] a [[uhol|uhly]], jedná sa teda o jedno zo [[zhodné zobrazenie|zhodných zobrazení]] v [[rovina (geometria)|rovine]] (alebo [[priestor]]e).
+'''Stredová súmernosť''' alebo '''zrkadlový obraz''' určený bodom S, je také [[zhodné zobrazenie]] v [[rovina|rovine]], alebo v [[3D|trojrozmernom]] [[priestor]]e, ktoré bodu S (nazývanému stred zobrazenia) priradí ten istý bod, a k bodu A ktorý neleží v bode S priradí bod A’, pričom zároveň platí: vzdialenosť [A, S]=[A’,S] a úsečka [A, A’] leží na priamke prechádzajúcej bodom S. '''Stredová súmernosť''' je typ [[geometrické zobrazenie|geometrického zobrazenia]]. Stredová súmernosť zachováva [[vzdialenosť|vzdialenosti]] a [[uhol|uhly]], ide teda o jedno zo [[zhodné zobrazenie|zhodných zobrazení]] v [[rovina (geometria)|rovine]] (alebo [[priestor]]e).
 == Definícia ==
-[[Image:geom_shodnost_soumernost_stred.svg|thumb|250px|Stredová súmernosť]]
+[[Image:geom shodnost soumernost stred.svg|thumb|250px|Stredová súmernosť]]
 '''Stredová súmernosť''' [[priamka|priamky]], [[rovina|roviny]] alebo priestoru so stredom v bode <math>S</math> (tzv. '''stred súmernosti''') je také [[geometrické zobrazenie|zobrazenie]], ktoré zobrazuje [[stred]] <math>S</math> na seba samého a bod <math>A</math> rôzny od <math>S</math> na bod <math>A^\prime</math>, ktorý sa nachádza na [[polpriamka|polopriamke]] opačnej k <math>SA</math> v rovnakej vzdialenosti od <math>S</math> ako bod <math>A</math> (čiže pre neho platí <math>|SA| = |SA^\prime|</math>).
@@ Riadok 21: / Riadok 21: @@
 Stredová súmernosť s pevne daným stredom je sama sebe [[inverzné zobrazenie|inverzným zobrazením]]. Zložením dvoch stredových súmerností s rovnakým stredom vzniká [[Identita (matematika)|identita]].
-Okrem vzdialeností zachováva stredová súmernosť v rovine i orientáciu - pokiaľ bolo poradie vrcholov v [[trojuholník]]u v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v stredovej súmernosti je opäť v smere hodinových ručičiek (čo napr. neplatí pre [[osová súmernosť|osovú súmernosť]]).
+Okrem vzdialeností zachováva stredová súmernosť v rovine i orientáciu – pokiaľ bolo poradie vrcholov v [[trojuholník]]u v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v stredovej súmernosti je opäť v smere hodinových ručičiek (čo napr. neplatí pre [[osová súmernosť|osovú súmernosť]]).
 Stredová súmernosť so stredom v bode <math>S</math> je v rovine zhodná s [[rotácia (geometria)|otočením]] o 180 stupňov podľa stredu <math>S</math>. V priestore, nemá zmysel hovoriť o otočení okolo bodu, ale iba okolo osi.