Eulerovo číslo

Číslo e alebo Eulerovo číslo (podľa švajčiarskeho matematika Leonharda Eulera, prípadne aj Napierova konštanta podľa škótskeho matematika Johna Napiera, ktorý zaviedol logaritmy) je matematická konštanta a základ prirodzeného logaritmu. Popri π a imaginárnej jednotke i, je e jedno z najvýznamnejších čísel v matematike. Má viacero ekvivalentných definícií, najznámejšie z nich sú uvedené nižšie. Používa sa pri exponencionálnych výpočtoch úrokov, výpočtoch teórie pravdepodobnosti, pri výpočte prírastku stromov a živočíšneho tkaniva, v elektronike a inde. Jeho hodnota na 30 desatinných miest je:

$e=2,718281828459045235360287471352...$

Definície

Tri najznámejšie definície:

1. Definícia e ako limity

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

2. Definícia e ako súčet nekonečného radu

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

3. Definícia e ako jediného reálneho čísla x > 0, pre ktoré platí, že

$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}.$

Bolo dokázané, že tieto tri definície sú ekvivalentné.

Vlastnosti

Exponenciálna funkcia $e^{x}$ je dôležitá, pretože je to jediná funkcia (okrem funkcie $y=0$), ktorá je svojou vlastnou deriváciou, a z toho vyplýva že aj svojou vlastnou primitívnou funkciou:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$, kde C je konštanta.

Eulerovo číslo je iracionálne (tzn. jeho desatinný rozvoj je nekonečný a neperiodický) a transcendentné (tzn. nedá sa vyjadriť ako koreň mnohočlenov s celočíselnými koeficientami)

Eulerov vzťah

Medzi číslami $e,\pi ,i,1$ platí vzorec pochádzajúci od Eulera

$e^{i\pi }+1=0\ .$

Je to špeciálny prípad všeobecnejšieho vzťahu, ktorý dáva do súvisu funkcie sínus, kosínus a exponenciálnu funkciu

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\ .$

Externé odkazy

• Číslo e s presnosťou na milión desatinných miest (po anglicky)