Kváder: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verzia z 05:17, 29. august 2012

O iných významoch výrazu Kváder pozri Kváder (rozlišovacia stránka).

Kváder

Objem	$V=a.b.c$
Povrch	$S=2(ab$ + $bc$ + $ac)$
Stena	obdĺžnik
Počet vrcholov	8
Počet hrán	12
Počet stien	6
Uhol pri vrchole	90°
Polomer opísanej guľovej plochy	$r$ = ${\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}}$
Polomer vpísanej guľovej plochy	-
Duálny mnohosten	-

Kváder je trojrozmerné teleso – mnohosten, ktorého steny tvorí šesť pravouhlých štvoruholníkov (obvykle obdĺžnikov, ale existujú i špeciálne prípady). Kváder obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky (v rámci skupiny). Tieto dĺžky sú obvykle označované ako dĺžka, šírka a výška kvádra. Inak povedané kváder je kolmý rovnobežnosten, ktorého podstavou je pravouholník.

Vlastnosti

Objem $V\,\!$ a povrch $S\,\!$ kvádra sa počíta z dĺžky jeho hrán $a,b,c\,\!$ :

V=a.b.c\,\!

Povrch kvádra sa rovná dvojnásobku súčtu plôch jednotlivých strán:

S=2.(a.b+b.c+a.c)\,\!

Kváder má tri rôzne dĺžky stenových uhlopriečok, ktoré sú dĺžkou uhlopriečok obdĺžnikov vo vzťahu k jeho stranám, a počítajú sa z Pytagorovej vety:

u_{a}={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\,\!

u_{b}={\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\,\!

u_{c}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,\!

Dĺžku uhlopriečky kvádra (vzdialenosť dvoch vrcholov, ktoré neležia na rovnakej stene) vypočítame taktiež pomocou Pytagorovej vety:

u={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,\!

uhly medzi stenami a uhlopriečkami:

\alpha =\operatorname {arctg} {\frac {a}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}

\beta =\operatorname {arctg} {\frac {b}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}}

\gamma =\operatorname {arctg} {\frac {c}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}

Kváder má šesť stien obdĺžnikového tvaru (v speciálnych prípadoch dve štvorcové a štyri obdĺžnikové alebo šesť štvorcových) z ktorých dve protiľahlé sú vždy zhodné, osem vrcholov a dvanásť hrán z ktorých štvorice rovnobežných majú vždy zhodnú dĺžku.

Súmernosť

Kváder je stredovo súmerný podľa priesečníka svojich telesových uhlopriečok.
Kváder je osovo súmerný podľa troch osí - spojníc stredov protiľahlých stien.
Kváder je rovinne súmerný podľa troch rovín. Každá z týchto rovín je rovnobežná s niektorou zo stien kvádra a prechádza priesečníkom uhlopriečok kvádra.

Vlastnosti

Každé dve steny kvádra sú rovnobežné alebo kolmé. Každé dve hrany kvádra sú rovnobežné alebo kolmé.
Eulerova formula (počet plôch (S), vrcholov (V), a hrán (E) kvádra je možné vyjadriť vzorcom

S+V=E+2

, čo v našom prípade je

6+8=12+2

.

Špeciálny prípad

Pravidelný štvorboký hranol

Špeciálnym prípadom kvádra pre $a=b\,\!$ je pravidelný štvorboký hranol. Ten má najmenej jednu dvojicu protiľahlých stien štvorcovú - túto potom nazývame základňa alebo podstava. Tretiu hranu kvádra (nenachádzajúcu sa na podstave) potom nazývame výška hranola $v=c\,\!$ .