Postupnosť (matematika): Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verzia z 20:24, 24. september 2012

Postupnosť (symbol je $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ alebo len (a_n) či {a_n} ) je ľubovoľná funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je podmnožina prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme a_n.

Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., m}, kde m je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel.

Ak sú členmi postupnosti čísla hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie hovoríme o funkcionálnej postupnosti.

Vlastnosti

Postupnosť je

neklesajúca, ak pre všetky i platí $a_{i}\geq a_{i-1}$ ,
nerastúca, ak pre všetky i platí $a_{i}\leq a_{i-1}$ ,
rastúca, ak pre všetky i platí $a_{i}>a_{i-1}$ ,
klesajúca, ak pre všetky i platí $a_{i}<a_{i-1}$ ,
zdola ohraničená v množine A, ak existuje také $L\in {\mathit {A}}$ , že pre všetky i platí $a_{i}\geq L$ ,
zhora ohraničená v množine A, ak existuje také $K\in {\mathit {A}}$ , že pre všetky i platí $a_{i}\leq K$ .

Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.

Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.

Limita

Hovoríme, že postupnosť

konverguje, ak má konečnú limitu (napr. $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots$ konverguje k 0),
diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. $1,2,3,\ldots$ diverguje k $\infty$ ),
osciluje, ak limitu nemá (napr. $1,-1,1,-1,\ldots$ ).

Vybraná postupnosť

Ak je $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ postupnosť (všobecne reálnych) čísiel a $(k_{n})_{n=1}^{\infty }$ rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz $(a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }$ nazývame vybraná postupnosť (alebollllllll čiastočná postupnosť) z $a_{n}$ (inými slovami, z $a_{n}$ vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).

Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je ${\mathit {(}}a_{n})$ obmedzená postupnosť v $\mathbb {R}$ , potom z nej možno vybrať postupnosť ${\mathit {(}}a_{k_{n}})$ , ktorá je konvergentná

Pozri aj

@@ Riadok 25: / Riadok 25: @@
 == Vybraná postupnosť ==
-Ak je <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> postupnosť (všobecne [[reálne číslo|reálnych]]) čísiel a <math>(k_n)_{n=1}^\infty</math> rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz <math>(a_{k_n})_{n=1}^\infty</math> nazývame ''vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z <math>a_n</math>'' (inými slovami, z <math>a_n</math> vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).
+Ak je <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> postupnosť (všobecne [[reálne číslo|reálnych]]) čísiel a <math>(k_n)_{n=1}^\infty</math> rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz <math>(a_{k_n})_{n=1}^\infty</math> nazývame ''vybraná postupnosť (alebollllllll čiastočná postupnosť) z <math>a_n</math>'' (inými slovami, z <math>a_n</math> vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).
 Platí [[Bernard Bolzano|Bolzano]]-[[Karl Weierstrass|Weierstrassova]] veta: ''Ak je <math>\mathit(a_n)</math> obmedzená postupnosť v <math>\mathbb{R}</math>, potom z nej možno vybrať postupnosť <math>\mathit(a_{k_n})</math>, ktorá je [[konvergencia|konvergentná]]''