Postupnosť (matematika)

Postupnosť - $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ alebo len $(a_{n})$ - je akákoľvek funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je množina všetkých prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme a_n.

Ak sú členmi postupnosti čísla hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie hovoríme o funkcionálnej postupnosti.

Vlastnosti

Postupnosť je

• neklesajúca, ak pre všetky i platí $a_{i}\geq a_{i-1}$,
• nerastúca, ak pre všetky i platí $a_{i}\leq a_{i-1}$,
• rastúca, ak pre všetky i platí $a_{i}>a_{i-1}$,
• klesajúca, ak pre všetky i platí $a_{i}<a_{i-1}$,
• zdola omedzená v množine A, ak existuje také $L\in {\mathit {A}}$, že pre všetky i platí $a_{i}\geq L$,
• zhora obmedzená v množine A, ak existuje také $K\in {\mathit {A}}$, že pre všetky i platí $a_{i}\leq K$.

Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.

Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora obmedzená, hovoríme, že je obmedzená.

Limita

Hovoríme, že postupnosť

• konverguje, ak má konečnú limitu (napr. $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots$ konverguje k 0),
• diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. $1,2,3,\ldots$ diverguje k $\infty$),
• osciluje, ak limitu nemá (napr. $1,-1,1,-1,\ldots$).

Vybraná postupnosť

Ak je $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ postupnosť (všobecne reálnych) čísiel a $(k_{n})_{n=1}^{\infty }$ rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz $(a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }$ nazývame postupnosť vybraná z $a_{n}$ (inými slovami, z $a_{n}$ vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).

Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je ${\mathit {(}}a_{n})$ obmedzená postupnosť v $\mathbb {R}$, potom z nej možno vybrať postupnosť ${\mathit {(}}a_{k_{n}})$, ktorá je konvergentná

Pozri aj

• Cauchyovská postupnosť
• Aritmetická postupnosť
• Geometrická postupnosť
• Rad