Kváder

O iných významoch výrazu Kváder pozri Kváder (rozlišovacia stránka).

Kváder
Objem	$V=a.b.c$
Povrch	$S=2(ab$+$bc$+$ac)$
Stena	obdĺžnik
Počet vrcholov	8
Počet hrán	12
Počet stien	6
Uhol pri vrchole	90°
Polomer opísanej guľovej plochy	$r$=${\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}}$
Polomer vpísanej guľovej plochy	-
Duálny mnohosten	-

Kváder je trojrozmerné teleso – mnohosten, ktorého steny tvorí šesť pravouhlých štvoruholníkov (obvykle obdĺžnikov, ale existujú i špeciálne prípady). Kváder obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky (v rámci skupiny). Tieto dĺžky sú obvykle označované ako dĺžka, šírka a výška kvádra. Inak povedané kváder je kolmý rovnobežnosten, ktorého podstavou je pravouholník.

Vlastnosti

Objem $V\,\!$ a povrch $S\,\!$ kvádra sa počíta z dĺžky jeho hrán $a,b,c\,\!$:

$V=a.b.c\,\!$

Povrch kvádra sa rovná dvojnásobku súčtu plôch jednotlivých strán:

$S=2.(a*b+b*c+a*c)\,\!$

Kváder má tri rôzne dĺžky stenových uhlopriečok, ktoré sú dĺžkou uhlopriečok obdĺžnikov vo vzťahu k jeho stranám, a počítajú sa z Pytagorovej vety:

$u_{a}={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\,\!$

$u_{b}={\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\,\!$

$u_{c}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,\!$

Dĺžku uhlopriečky kvádra (vzdialenosť dvoch vrcholov, ktoré neležia na rovnakej stene) vypočítame taktiež pomocou Pytagorovej vety:

$u={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,\!$

uhly medzi stenami a uhlopriečkami:

$\alpha =\operatorname {arctg} {\frac {a}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}$

$\beta =\operatorname {arctg} {\frac {b}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}}$

$\gamma =\operatorname {arctg} {\frac {c}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}$

Kváder má šesť stien obdĺžnikového tvaru (v speciálnych prípadoch dve štvorcové a štyri obdĺžnikové alebo šesť štvorcových) z ktorých dve protiľahlé sú vždy zhodné, osem vrcholov a dvanásť hrán z ktorých štvorice rovnobežných majú vždy zhodnú dĺžku.

Rozvinutá plocha kvádra

Súmernosť

• Kváder je stredovo súmerný podľa priesečníka svojich telesových uhlopriečok.
• Kváder je osovo súmerný podľa troch osí - spojníc stredov protiľahlých stien.
• Kváder je rovinne súmerný podľa troch rovín. Každá z týchto rovín je rovnobežná s niektorou zo stien kvádra a prechádza priesečníkom uhlopriečok kvádra.

Vlastnosti

• Každé dve steny kvádra sú rovnobežné alebo kolmé. Každé dve hrany kvádra sú rovnobežné alebo kolmé.
• Eulerova formula (počet plôch (S), vrcholov (V), a hrán (E) kvádra je možné vyjadriť vzorcom

$S+V=E+2$, čo v našom prípade je $6+8=12+2$.

Špeciálny prípad

Pravidelný štvorboký hranol

Špeciálnym prípadom kvádra pre $a=b\,\!$ je pravidelný štvorboký hranol. Ten má najmenej jednu dvojicu protiľahlých stien štvorcovú - túto potom nazývame základňa alebo podstava. Tretiu hranu kvádra (nenachádzajúcu sa na podstave) potom nazývame výška hranola $v=c\,\!$.

Vzorce pre objem a povrch sa zjednodušia na:

• $V=a^{2}.v\,\!$
• $S=2.a^{2}+4.a.v\,\!$

Kocka

Špeciálnym prípadom kvádra (a zároveň špeciálnym prípadom pravidelného štvorbokého hranola pre $a=b=c\,\!$ je kocka.

Súvisiace články

• Kocka
• Obdĺžnik
• Mnohosten
• Hranol

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Kváder