Základná veta aritmetiky

Základná veta aritmetiky je matematická veta, ktorá tvrdí, že každé prirodzené číslo väčšie než 1 možno jednoznačne rozložiť na súčin prvočísiel.

Presná formulácia

Pre každé prirodzené číslo $x\,\!$ existuje práve jedna skupina prirozených čísel väčších než 0: $n,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\,\!$ a práve jedna skupina podľa veľkosti zoradených prvočísiel: $p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{n}\,\!$ tak, že
$p_{1}^{m_{1}}.p_{2}^{m_{2}}.p_{3}^{m_{3}}.\ldots .p_{n}^{m_{n}}=x\,\!$

Náčrt dôkazu

Tvrdenie sa dokazuje matematickou indukciou:

• pre prvočísla veta triviálne platí - prvočíslo p možno rozložit práve jedným spôsobom: $p=p^{1}\,\!$
• pokiaľ platí pre všetky $i\leq n\,\!$, potom $n+1\,\!$ je buď prvočíslo, alebo súčin nejakých dvoch menších čísiel - spojením ich jednoznačných prvočíselných rozkladov získame určite minimálne jeden rozklad
• zostáva dokázať, že tento rozklad je jednoznačný - dokazuje se sporom (pokiaľ pre $n+1\,\!$ existujú dva rôzne rozklady, potom museli existovať dva rôzné rozklady tiež pre nejaké menšie číslo, čo je v spore s indukčným predpokladom)

Súvisiace články

• Prvočíslo
• Faktorizácia
• Najväčší spoločný deliteľ
• Najmenší spoločný násobok

Prírodné a technické vedy, veda a technika

•  Architektúra
•  Astronómia
  •  Hviezda
  •  Slnečná sústava
•  Biológia
•  Cesty
•  Fyzika
•  Geografia
•  Chémia
•  Informatika
•  Kozmonautika
•  Letectvo
•  Matematika
•  Medicína
  •  Rádiológia
•  Pes
•  Vedy o Zemi

---

Humanitné a spoločenské vedy, život a spoločnosť

•  20. storočie
•  Divadlo
•  Film
•  História
•  Hudba
•  Jazyk
•  Literatúra
•  Ľudia
•  Politika
•  Šport
  •  Futbal
  •  Ľadový hokej
  •  Šach
  •  Tenis
•  Umenie
•  Videohry

---

Geografia

•  Afrika
•  Belgicko
•  Byzantská ríša
•  Česko
•  Fínsko
•  Francúzsko
•  Luxembursko
•  Rusko
•  Samoa
•  Slovensko
  •  Bratislava
  •  Košice
  •  Žilina
•  Taliansko
•  Vatikán

Kategórie:Aritmetika

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku neznámeho mena na neurčenej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).