Základná veta aritmetiky: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verzia z 11:48, 2. november 2016

Základná veta aritmetiky je matematická veta, ktorá tvrdí, že každé prirodzené číslo väčšie než 1 možno jednoznačne rozložiť na súčin prvočísiel.

Presná formulácia

Pre každé prirodzené číslo $x\,\!$ existuje práve jedna skupina prirodzených čísel väčších než 0: $n,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\,\!$ a práve jedna skupina podľa veľkosti zoradených prvočísiel: $p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{n}\,\!$ tak, že
$p_{1}^{m_{1}}.p_{2}^{m_{2}}.p_{3}^{m_{3}}.\ldots .p_{n}^{m_{n}}=x\,\!$

Náčrt dôkazu

Tvrdenie sa dokazuje matematickou indukciou:

pre prvočísla veta triviálne platí - prvočíslo p možno rozložiť práve jedným spôsobom: $p=p^{1}\,\!$
pokiaľ platí pre všetky $i\leq x\,\!$ , potom $x+1\,\!$ je buď prvočíslo, alebo súčin nejakých dvoch menších čísiel - spojením ich jednoznačných prvočíselných rozkladov získame určite minimálne jeden rozklad
zostáva dokázať, že tento rozklad je jednoznačný - dokazuje sa sporom (pokiaľ pre $x+1\,\!$ existujú dva rôzne rozklady, potom museli existovať dva rôzne rozklady tiež pre nejaké menšie číslo, čo je v spore s indukčným predpokladom)

Pozri aj

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Základní věta aritmetiky na českej Wikipédii.

Matematický portál

@@ Riadok 2: / Riadok 2: @@
 == Presná formulácia ==
-Pre každé prirodzené číslo <math> x \,\! </math> existuje práve jedna skupina prirozených čísel väčších než 0: <math> n, m_1, m_2, \ldots , m_n \,\! </math> a práve jedna skupina podľa veľkosti zoradených prvočísiel: <math> p_1 < p_2 < \ldots < p_n \,\! </math> tak, že<br />
+Pre každé prirodzené číslo <math> x \,\! </math> existuje práve jedna skupina prirodzených čísel väčších než 0: <math> n, m_1, m_2, \ldots , m_n \,\! </math> a práve jedna skupina podľa veľkosti zoradených prvočísiel: <math> p_1 < p_2 < \ldots < p_n \,\! </math> tak, že<br />
 <math>p_1^{m_1}.p_2^{m_2}.p_3^{m_3}. \ldots .p_n^{m_n} = x \,\! </math>
 == Náčrt dôkazu ==
 Tvrdenie sa dokazuje [[matematická indukcia|matematickou indukciou]]:
-* pre prvočísla veta triviálne platí - prvočíslo p možno rozložit práve jedným spôsobom: <math> p = p^1 \,\! </math>
+* pre prvočísla veta triviálne platí - prvočíslo p možno rozložiť práve jedným spôsobom: <math> p = p^1 \,\! </math>
 * pokiaľ platí pre všetky <math> i \leq x \,\! </math>, potom <math> x + 1 \,\! </math> je buď prvočíslo, alebo súčin nejakých dvoch menších čísiel - spojením ich jednoznačných prvočíselných rozkladov získame určite minimálne jeden rozklad
 * zostáva dokázať, že tento rozklad je jednoznačný - dokazuje sa [[Dôkaz sporom|sporom]] (pokiaľ pre <math> x + 1 \,\! </math> existujú dva rôzne rozklady, potom museli existovať dva rôzne rozklady tiež pre nejaké menšie číslo, čo je v spore s indukčným predpokladom)