Algebrická štruktúra

V matematike, presnejšie v abstraktnej algebre, je algebrická štruktúra (iné názvy: algebra, algebrický systém, staršie algebraická štruktúra, algebraický systém) označenie pre množinu (nazývaná tiež nosná množina) spolu s jednou alebo viacerými operáciami definovanými na tejto množine, splňujúce nejakú sadu axiómov.

Algebrická štruktúra na množine A je teda daná dvoma množinami (môže sa definovať ako dvojica týchto množín):

1. množinou A, ktorú nazývame oborom algebrickej štruktúry alebo poľom algebrickej štruktúry. Podľa toho, či je konečná alebo nekonečná, nazýva sa algebraická štruktúra konečnou alebo nekonečnou.
2. Množinou operácií na množine A (aj táto množina môže byť nekonečná).

Príklady algebraických štruktúr zahŕňajú grupy, okruhy, pole, či zväzy. Zložitejšie štruktúry môžu byť definované predstavením viacerých operácií, rôznymi nosnými množinami, alebo zamieňaním definujúcich axióm. Príkladom komplexnejšej algebraickej štruktúry je vektorový priestor.

Vlastnosti špecifických algebraických štruktúr sa študujú v abstraktnej algebre. Všeobecná teória algebraických štruktúr bola formalizovaná odborom univerzálna algebra.

Úvod

Sčítanie a násobenie na číslach sú prototypickým príkladom operácií, ktoré kombinujú dva prvky z množiny na vyprodukovanie tretieho. Tieto operácie spĺňajú niektoré z algebraických vlastností (viď vlastnosti binárnych operácií). Napríklad a + (b + c) = (a + b) + c a a(bc) = (ab)c sú obe príkladom asociativity operácií sčítania, resp. násobenia. Ďalej a + b = b + a, a ab = ba sú príkladmi komutativity. Mnoho systémov študovaných matematikou má nad sebou definované operácie, ktoré majú niektoré (nie zákonite všetky) z takýchto vlastností.

Matematici množiny spolu s operáciami, ktoré spĺňajú niektoré takéto vlastnosti pomenovávajú a študujú ich ako algebraické štrutúry. Keď pre nejaký nový problém je možné ukázať, že spĺňa vlastnosti niektorej algebraickej štruktúry, všetka práca, ktorá bola v tejto kategórii urobená, môže byť aplikovaná aj na nový problém.

Vo všeobecnosti môžu algebraické štruktúry obsahovať ľubovoľný počet množín a operácií z rôznou aritou, tu sa však budeme zameriavať na algebraické štruktúry s binárnymi operáciami nad jednou množinou.

Druhy/príklady

Nasledujúce príklady rozhodne nie sú úplným výčtom algebraických štruktúr, ale sú mienené ako reprezentatívny zoznam a zahŕňajú najčastejšie štruktúry.

Grupoidné štruktúry

Štruktúry s jednou množinou a jednou operáciou.

Nech $G$ je množina a $\circ$ je binárna operácia na množine $G$.

• Grupoid je usporiadaná dvojica $(G,\circ )$.
• Pologrupa (alebo asociatívny grupoid) je grupoid, v ktorom je operácia $\circ$ asociatívna.
• Monoid je pologrupa s neutrálnym prvkom $e\in G$
• Grupa je monoid, v ktorom má každý prvok inverziu.

Vyššie uvedené štruktúry sa nazývajú komutatívne ak operácia $\circ$ je komutatívna.

Okruhové štruktúry

Štruktúry s jednou množinou a dvoma operáciami.

Nech $R$ je množina a $+$ a $.$ sú binárne operácie na množine $R$.

• Okruh je trojica $(R,+,.)$, kde $(R,+)$ je komutatívna grupa (tzv. Abelovská grupa), $(R,.)$ je monoid a pre všetky $a,b,c\in R$ platí
  • $a.(b+c)=(a.b)+(a.c)$ (ľavá distributivita) a
  • $(b+c).a=(b.a)+(c.a)$ (pravá distributivita).

Externé odkazy

• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.