Deliteľnosť

Deliteľnosť je možnosť rozkladať celok na časti.

V matematike je deliteľnosť vlastnosť celých čísel. Celé číslo p je deliteľné nenulovým celým číslom q (číslo q delí p), ak existuje také celé číslo k, pre ktoré platí, že: p = kq.

Napr. číslo 27 je deliteľné tromi, lebo 27 = 9 · 3. Alternatívne je p deliteľné q, ak zvyšok po delení $p/q$ je nula.

Všeobecne

• číslo p sa nazýva delenec,
• číslo q sa nazýva deliteľ,
• číslo k sa nazýva podiel čísla p pri delení číslom q,
• v obore celých čísel majú čísla p a −p tie isté delitele,
• čísla 1, −1, p a −p sa nazývajú triviálne delitele čísel p a −p,
• ak existujú ešte ďalšie delitele, nazývajú sa netriviálne,
• delitele čísla p menšie ako p sa nazývajú vlastné delitele čísla p
• každé celé číslo je deliteľom nuly, nula ale nie je deliteľom žiadneho celého čísla rôzneho od nuly.

Párne a nepárne čísla

Celé číslo deliteľné dvomi sa nazýva párne. Ak číslo nie je párne, nazýva sa nepárne.

Prvočísla

Prirodzené číslo väčšie než 1, ktoré má iba triviálne delitele (je deliteľné iba jednotkou a samo sebou), sa nazýva prvočíslo. Prirodzené číslo väčšie než 1, ktoré nie je prvočíslom, sa nazýva zložené číslo.

Prvočiniteľ

Prvočíslo, ktoré delí číslo p, sa nazýva prvočiniteľ. Každé zložené číslo možno napísať ako súčin prvočiniteľov. Tento zápis (pokiaľ neberieme do úvahy poradie prvočiniteľov) je pre každé číslo jedinečný (pozri faktorizácia).

Dve čísla sa nazývajú súdeliteľné, keď majú spoločného deliteľa väčšieho než 1. Pokiaľ takého deliteľa nemajú, nazývajú sa nesúdeliteľné.

Vlastnosti deliteľnosti

• $a\mid b\implies \forall k\in \mathbb {Z} \quad a\mid k\cdot b\quad$ - Ak a delí b, potom a delí akýkoľvek násobok b

• $a\mid b\land b\mid c\implies a\mid c\quad$ - Ak a delí b a b delí c, potom a delí c, , deliteľnosť je tranzitívna relácia.

• $a\mid b\land a\mid c\implies a\mid (b+c)\land a\mid (b-c)\quad$ - Ak a delí dve čísla, potom a delí aj ich súčet a rozdiel.
• Ak $a\mid b$ a $b\mid a$, potom $a=b$ alebo $a=-b$.
• Ak $p$ je prvočíslo a $p\mid ab$ potom $p\mid a$ alebo $p\mid b$.

Kritéria deliteľnosti

Nasledujúca tabuľka obsahuje kritéria deliteľnosti v desiatkovej číselnej sústave.

q	kritérium	príklad
2	ak je posledná číslica párna, alebo je na poslednom mieste číslica 0	128, 1002, 10
3	ak je ciferný súčet deliteľný 3	228 (2+2+8=12)
4	ak je posledné dvojčíslie deliteľné 4	612,1008, 2116
5	ak je na poslednom mieste 5 alebo 0	35, 10540
6	ak je číslo deliteľné 2 a súčasne aj 3	924, 29250
7	ak je siedmimi deliteľný súčet vypočítaný tak, že sa prvá až n-tá číslica odzadu vynásobí postupne číslami (periodicky sa opakujúcimi): 1, 3, 2, 6, 4, 5	Je 138309241 deliteľné 7? 1*1+4*3+2*2+9*6+0*4+3*5+8*1+3*3+1*2=105 (číslo deliteľné 7), 138309241 je teda deliteľné 7
8	ak je posledné trojčíslie deliteľné 8	12504
9	ak je ciferný súčet deliteľný 9	1683 (1+6+8+3=18)
10	ak je na poslednom mieste 0	1220, 2180
11	ak je rozdiel súčtu číslic na párnom a nepárnom mieste deliteľný 11 alebo rovný 0	5357 ((5+5)-(3+7)=0)
12	ak je číslo deliteľné 3 a súčasne aj 4	65 412 (6+5+4+1+2=18 → deliteľné tromi); 65 412 (12/4=3 → OK)
13	ak je rozdiel súčtu nepárnych a párnych trojíc cifier deliteľný trinástimi	2022046 (002-022+046 = 26)
17	ak je výsledok nasledujúceho postupu deliteľný sedemnástimi: striedavo sa odčítajú a pripočítajú dvojice cifier vynásobené 2 a medzivýsledky sa vždy delia dvomi. Konečný výsledok sa potom vynásobí násobkom desať tak, aby vyšlo celé číslo.	51153 ((53-(2*11))/2 + 2*5 = 25.5 a 255 je deliteľné 17)
25	ak je posledné dvojčíslie deliteľné 25	125, 15475
100	ak sú posledné dve číslice 0 (00)	15400, 700

Všeobecné kritérium deliteľnosti

Ľubovoľné kritérium deliteľnosti možno zapísať ako ciferný súčet s váhami — číslo x je deliteľné prvočíslom n práve keď Σ_k α_ka_k je deliteľné n, kde x   =   a₀ + 10a₁ + 100a₂ + 1000a₃ + …+10ⁿa_n, alebo je zapísané v pozičnej sústave so základom 10.

Jednotlivé váhy v cifernom súčte sú riešenia jednoduchých kongruencií $\alpha _{k}\equiv 10^{k}\,(mod\ n)$. Riešením sú teda zvyšky po delení 10^k/n.

Napríklad číslo x je deliteľné 17 práve keď a₀ − 7a₁ − 2a₂ − 3a₃ + 4a₄ + 6a₅ − 8a₆ + 5a₇ − a₈ + 7a₉ + 2a₁₀ + 3a₁₁ − 4a₁₂ − 6a₁₃ + 8a₁₄ − 5a₁₅ + a₁₆ … je deliteľné 17.

Deliteľnosť v minulosti

Podľa Anaxagora neexistuje nijaké nedeliteľné (ani odlišné od nuly, ani nulové veličiny); medzi malými vecami vždy je ešte niečo menšie a medzi veľkými vecami je vždy ešte niečo väčšie, takže je nemožné, aby súcno delením do nekonečna prestalo byť.

Externé odkazy

• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.