Hausdorffova miera: Rozdiel medzi revíziami
Bez shrnutí editace |
d Replacing deprecated latex syntax mw:Extension:Math/Roadmap |
||
Riadok 1: | Riadok 1: | ||
'''Hausdorffova miera''' alebo '''Hausdorffova dimenzia''' alebo '''Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia''' je, v matematike, [[záporné číslo|nezáporné]] [[reálne číslo]] priradené nejakému [[metrický priestor|metrickému priestoru]]. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v [[Euklidovská geometria|Euklidovskom priestore]] v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera [[fraktál]]u nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera [[prirodzené číslo]], ale tiež môže byť [[racionálne číslo|racionálne]] alebo [[iracionálne číslo]]. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom [[Felix Hausdorff|Felixom Hausdorffom]]. |
'''Hausdorffova miera''' alebo '''Hausdorffova dimenzia''' alebo '''Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia''' je, v matematike, [[záporné číslo|nezáporné]] [[reálne číslo]] priradené nejakému [[metrický priestor|metrickému priestoru]]. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v [[Euklidovská geometria|Euklidovskom priestore]] v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera [[fraktál]]u nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera [[prirodzené číslo]], ale tiež môže byť [[racionálne číslo|racionálne]] alebo [[iracionálne číslo]]. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom [[Felix Hausdorff|Felixom Hausdorffom]]. |
||
Hausdorffova miera (ďalej označená <math>\ |
Hausdorffova miera (ďalej označená <math>\mathbf{H}^s</math>) je "dolnodimenzionalnou" mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>, ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé“ podmnožiny <math>\mathbb{R}^n</math>. Základnou myšlienkou je, že množina <math>\mathbf{A}</math> je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny <math>\mathbb{R}^n</math>, kde platí |
||
<math>0<H^s(A)<\infty</math>, i keď <math>\ |
<math>0<H^s(A)<\infty</math>, i keď <math>\mathbf{A}</math> je veľmi komplikovaná. <math>\mathbf{H}^s</math> je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia. |
||
== Definícia Hausdorffovej miery == |
== Definícia Hausdorffovej miery == |
||
'''Definícia''': Nech <math>\ |
'''Definícia''': Nech <math>\mathbf{A}\subset\mathbb{R}^n,0\leq s<\infty, 0<\delta\leq\infty</math> definujeme: |
||
<math>(i)\ |
<math>(i)\mathbf{H}^s_\delta(A)=\inf\{\sum^{\infty}_{i=1} \alpha(s)(\frac{diam(C_i)}{2})^s | A\subset{\cup^\infty_{j=1}C_j}, diam(C_j)\leq\delta\},</math> |
||
kde |
kde |
||
Riadok 19: | Riadok 19: | ||
je obyčajná gamma funkcia. |
je obyčajná gamma funkcia. |
||
<math>\ |
<math>\mathbf(ii)</math>Pro <math>\mathbf{A}</math> a <math>\mathbf{s}</math> s vlastnosťami ako vyššie, definujeme: |
||
<math>H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)</math> |
<math>H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)</math> |
||
<math>\ |
<math>\mathbf{H}^s</math> nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>. |
||
== Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie == |
== Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie == |
||
<math>\ |
<math>\mathbf{H}^s</math> je Borelova regulárna miera pre <math>0\leq s<\infty</math>, nie je ale Radonova miera. |
||
Z toho vyplýva toto: |
Z toho vyplýva toto: |
||
<math>(i)\ |
<math>(i)\mathbf{H}^s_\delta</math> je miera. |
||
<math>(ii)\ |
<math>(ii)\mathbf{H}^s</math> je miera. |
||
<math>(iii)\ |
<math>(iii)\mathbf{H}^s</math> je Borelova miera. |
||
Ďalšie zaujímavé vlastnosti: |
Ďalšie zaujímavé vlastnosti: |
||
<math>(i)\ |
<math>(i)\mathbf{H}^0</math> je čítacia miera. |
||
<math>(ii)\ |
<math>(ii)\mathbf{H}^1=\mathbf{L}^1</math> na <math>\mathbb{R}^n</math>, kde <math>\mathbf{L}^1</math> je Lebesgueova miera. |
||
<math>(iii)\ |
<math>(iii)\mathbf{H}^s=0</math> na <math>\mathbb{R}^n</math> pre všetky <math>\mathbf{s>n}</math>. |
||
<math>(iv)\ |
<math>(iv)\mathbf{H}^s(\lambda A)=\lambda^s \mathbf{H}^s(A)</math> pre všetky <math>\lambda>0, A\subset\mathbb{R}^n</math>. |
||
<math>(v)\ |
<math>(v)\mathbf{H}^s(L(A))=\mathbf{H}^s(A)</math> pre všetky afinné izometrie <math>L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, A\subset\mathbb{R}^n</math>. |
||
== Literatúra == |
== Literatúra == |
Verzia z 09:54, 4. máj 2019
Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia je, v matematike, nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.
Hausdorffova miera (ďalej označená ) je "dolnodimenzionalnou" mierou na , ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé“ podmnožiny . Základnou myšlienkou je, že množina je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny , kde platí , i keď je veľmi komplikovaná. je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.
Definícia Hausdorffovej miery
Definícia: Nech definujeme:
kde
túto
je obyčajná gamma funkcia.
Pro a s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:
nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na .
Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie
je Borelova regulárna miera pre , nie je ale Radonova miera.
Z toho vyplýva toto:
je miera.
je miera.
je Borelova miera.
Ďalšie zaujímavé vlastnosti:
je čítacia miera.
na , kde je Lebesgueova miera.
na pre všetky .
pre všetky .
pre všetky afinné izometrie .
Literatúra
- Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.