Hausdorffova miera: Rozdiel medzi revíziami

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Smazaný obsah Přidaný obsah
Vegetator (diskusia | príspevky)
Bez shrnutí editace
d Replacing deprecated latex syntax mw:Extension:Math/Roadmap
Riadok 1: Riadok 1:
'''Hausdorffova miera''' alebo '''Hausdorffova dimenzia''' alebo '''Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia''' je, v matematike, [[záporné číslo|nezáporné]] [[reálne číslo]] priradené nejakému [[metrický priestor|metrickému priestoru]]. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v [[Euklidovská geometria|Euklidovskom priestore]] v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera [[fraktál]]u nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera [[prirodzené číslo]], ale tiež môže byť [[racionálne číslo|racionálne]] alebo [[iracionálne číslo]]. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom [[Felix Hausdorff|Felixom Hausdorffom]].
'''Hausdorffova miera''' alebo '''Hausdorffova dimenzia''' alebo '''Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia''' je, v matematike, [[záporné číslo|nezáporné]] [[reálne číslo]] priradené nejakému [[metrický priestor|metrickému priestoru]]. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v [[Euklidovská geometria|Euklidovskom priestore]] v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera [[fraktál]]u nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera [[prirodzené číslo]], ale tiež môže byť [[racionálne číslo|racionálne]] alebo [[iracionálne číslo]]. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom [[Felix Hausdorff|Felixom Hausdorffom]].


Hausdorffova miera (ďalej označená <math>\bold{H}^s</math>) je "dolnodimenzionalnou" mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>, ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé“ podmnožiny <math>\mathbb{R}^n</math>. Základnou myšlienkou je, že množina <math>\bold{A}</math> je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny <math>\mathbb{R}^n</math>, kde platí
Hausdorffova miera (ďalej označená <math>\mathbf{H}^s</math>) je "dolnodimenzionalnou" mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>, ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé“ podmnožiny <math>\mathbb{R}^n</math>. Základnou myšlienkou je, že množina <math>\mathbf{A}</math> je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny <math>\mathbb{R}^n</math>, kde platí
<math>0<H^s(A)<\infty</math>, i keď <math>\bold{A}</math> je veľmi komplikovaná. <math>\bold{H}^s</math> je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.
<math>0<H^s(A)<\infty</math>, i keď <math>\mathbf{A}</math> je veľmi komplikovaná. <math>\mathbf{H}^s</math> je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.


== Definícia Hausdorffovej miery ==
== Definícia Hausdorffovej miery ==
'''Definícia''': Nech <math>\bold{A}\subset\mathbb{R}^n,0\leq s<\infty, 0<\delta\leq\infty</math> definujeme:
'''Definícia''': Nech <math>\mathbf{A}\subset\mathbb{R}^n,0\leq s<\infty, 0<\delta\leq\infty</math> definujeme:


<math>(i)\bold{H}^s_\delta(A)=\inf\{\sum^{\infty}_{i=1} \alpha(s)(\frac{diam(C_i)}{2})^s | A\subset{\cup^\infty_{j=1}C_j}, diam(C_j)\leq\delta\},</math>
<math>(i)\mathbf{H}^s_\delta(A)=\inf\{\sum^{\infty}_{i=1} \alpha(s)(\frac{diam(C_i)}{2})^s | A\subset{\cup^\infty_{j=1}C_j}, diam(C_j)\leq\delta\},</math>


kde
kde
Riadok 19: Riadok 19:
je obyčajná gamma funkcia.
je obyčajná gamma funkcia.


<math>\bold(ii)</math>Pro <math>\bold{A}</math> a <math>\bold{s}</math> s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:
<math>\mathbf(ii)</math>Pro <math>\mathbf{A}</math> a <math>\mathbf{s}</math> s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:


<math>H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)</math>
<math>H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)</math>
<math>\bold{H}^s</math> nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>.
<math>\mathbf{H}^s</math> nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>.


== Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie ==
== Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie ==
<math>\bold{H}^s</math> je Borelova regulárna miera pre <math>0\leq s<\infty</math>, nie je ale Radonova miera.
<math>\mathbf{H}^s</math> je Borelova regulárna miera pre <math>0\leq s<\infty</math>, nie je ale Radonova miera.


Z toho vyplýva toto:
Z toho vyplýva toto:


<math>(i)\bold{H}^s_\delta</math> je miera.
<math>(i)\mathbf{H}^s_\delta</math> je miera.


<math>(ii)\bold{H}^s</math> je miera.
<math>(ii)\mathbf{H}^s</math> je miera.


<math>(iii)\bold{H}^s</math> je Borelova miera.
<math>(iii)\mathbf{H}^s</math> je Borelova miera.


Ďalšie zaujímavé vlastnosti:
Ďalšie zaujímavé vlastnosti:


<math>(i)\bold{H}^0</math> je čítacia miera.
<math>(i)\mathbf{H}^0</math> je čítacia miera.


<math>(ii)\bold{H}^1=\bold{L}^1</math> na <math>\mathbb{R}^n</math>, kde <math>\bold{L}^1</math> je Lebesgueova miera.
<math>(ii)\mathbf{H}^1=\mathbf{L}^1</math> na <math>\mathbb{R}^n</math>, kde <math>\mathbf{L}^1</math> je Lebesgueova miera.


<math>(iii)\bold{H}^s=0</math> na <math>\mathbb{R}^n</math> pre všetky <math>\bold{s>n}</math>.
<math>(iii)\mathbf{H}^s=0</math> na <math>\mathbb{R}^n</math> pre všetky <math>\mathbf{s>n}</math>.


<math>(iv)\bold{H}^s(\lambda A)=\lambda^s \bold{H}^s(A)</math> pre všetky <math>\lambda>0, A\subset\mathbb{R}^n</math>.
<math>(iv)\mathbf{H}^s(\lambda A)=\lambda^s \mathbf{H}^s(A)</math> pre všetky <math>\lambda>0, A\subset\mathbb{R}^n</math>.


<math>(v)\bold{H}^s(L(A))=\bold{H}^s(A)</math> pre všetky afinné izometrie <math>L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, A\subset\mathbb{R}^n</math>.
<math>(v)\mathbf{H}^s(L(A))=\mathbf{H}^s(A)</math> pre všetky afinné izometrie <math>L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, A\subset\mathbb{R}^n</math>.


== Literatúra ==
== Literatúra ==

Verzia z 09:54, 4. máj 2019

Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia je, v matematike, nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.

Hausdorffova miera (ďalej označená ) je "dolnodimenzionalnou" mierou na , ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé“ podmnožiny . Základnou myšlienkou je, že množina je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny , kde platí , i keď je veľmi komplikovaná. je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.

Definícia Hausdorffovej miery

Definícia: Nech definujeme:

kde

túto

je obyčajná gamma funkcia.

Pro a s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:

nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na .

Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie

je Borelova regulárna miera pre , nie je ale Radonova miera.

Z toho vyplýva toto:

je miera.

je miera.

je Borelova miera.

Ďalšie zaujímavé vlastnosti:

je čítacia miera.

na , kde je Lebesgueova miera.

na pre všetky .

pre všetky .

pre všetky afinné izometrie .

Literatúra

  • Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.