Okruh (algebra)

Okruh je jedna zo základných štruktúr v algebre.

Na množine celých čísel definujeme klasickým spôsobom binárnu operáciu sčítanie. Celé čísla tvoria vzhľadom na sčítanie abelovskú grupu. No na tejto množine vieme definovať aj násobenie, ktoré je so sčítaním zviazené distributívnym zákonom. Podobných štruktúr poznáme veľmi veľa (pozri aj sekciu Príklady) a je tak výhodné urobiť ich abstrakciu a študovať ich všetky naraz.

Definícia

Okruh je usporiadaná trojica (M, +, *), kde

• M je ľubovoľná množina, + a * sú binárne operácie na M,
• (M, +) je abelovská grupa,
• (M, *) je pologrupa,
• * je distributívna vzhľadom na + z oboch strán.

Inak povedané (ak rozpíšeme definície abelovskej grupy, pologrupy a distributívnosti v definícii), platí:

• + je asociatívna operácia a komutatívna operácia na M,
• operácia + má neutrálny prvok (ktorý zvykneme volať nulou okruhu),
• ku každému prvku a z M existuje k nemu inverzný (ktorý voláme prvkom opačným k a a symbolicky zapisujeme $-a$),
• * je asociatívna operácia na M,
• $\forall a,b,c\in M:a*(b+c)=a*b+a*c$ a $\forall a,b,c\in M:(a+b)*c=a*c+b*c$.

Ak operácia * je komutatívna, hovoríme o komutatívnom okruhu.

Ak existuje neutrálny prvok vzhľadom na *, hovoríme, o okruhu s jednotkou a tento neutrálny prvok nazývame jednotkou okruhu.

Komutatívny okruh s jednotkou, v ktorom platí zákon nenulového súčinu, nazývame obor integrity.

Ak ku každému prvku okrem nuly v okruhu s jednotkou existuje inverzný (vzhľadom na operáciu *) (t.j. $(M-\{0\},*)$ je grupa), hovoríme o telese.

Komutatívne teleso nazývame pole.

Jednoduché vety

Nie je ťažké dokázať, že v každom okruhu platia nasledujúce vzťahy:

• $a0=0a=0$
• $(-a)b=a(-b)=-ab$
• $(-1)a=-a$
• ak $a,b$ sú invertibilné (t.j. existujú k obom inverzné prvky), potom $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.

V každom netriviálnom okruhu s jednotkou (t.j. ktorý má aspoň dva prvky) je jednotka vždy rôzna od nuly.

Príklady

• celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla, komplexné čísla vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia (posledné tri sú polia),
• kvaternióny vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia (tvoria teleso),
• zvyškové triedy podľa prvočíselného modulu (tvoria pole),
• reálne spojité funkcie nad daným intervalom vzhľadom na sčítanie a násobenie funkcií,
• všetky polynómy s koeficientami z daného okruhu (okruh polynómov),
• štvorcové matice nad daným poľom vzhľadom na maticové sčítanie a násobenie,
• endomorfizmy danej grupy vzhľadom na sčítanie a skladanie zobrazení (okruh endomorfizmov),
• potenčná množina danej množiny vzhľadom na symetrickú diferenciu a prienik,

Konštrukcia nových okruhov zo starých

Nech je daný okruh (A, +, *). Hovoríme, že (B, +', *') je podokruh okruhu A, ak

• $B\subseteq A$,
• +' je zúžením operácie + na B,
• *' je zúžením operácie * na B.

Nech C je ľubovoľná podmnožina A. Najmenší podokruh okruhu A (s indukovanými operáciami) obsahujúci množinu C nazývame podokruhom generovaným množinou C (symbolicky zapisujeme $[C]$). Takýto podokruh existuje vždy práve jeden.

Nech teraz A je komutatívny okruh s jednotkou a nech jednotka patrí aj podokruhu B, nech u je ľubovoľný prvok z A, potom sa dá dokázať, že:

• $[B\cup \{u\}]=\{a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+\ldots +a_{n}u^{n}~|~n\in N,a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in B\}$

Podokruh $[B\cup \{u\}]$ symbolicky zapisujeme $B[u]$.

Direktný (priamy) súčet okruhov (A,+,*) a (B,+',*') je okruh $(A\times B,\oplus ,\otimes )$, kde

• $(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+'d)$,
• $(a,b)\otimes (c,d)=(a*c,b*'d)$.

Centrum okruhu je jeho podokruh prvkov, ktoré komutujú so všetkými ostatnými.

Ak je daný ľubovoľný ideál I okruhu A, existuje k nemu faktorový okruh A/I.