Syntaktická skratka

Syntaktická skratka je symbol ktorý zastupuje nejakú zložitejšiu presne vymedzenú syntaktickú konštrukciu v jazyku logiky alebo teórie. Syntaktická skratka sama o sebe nie je súčastou jazyka ani abecedy, jej jedinou úlohou je sprehladniť komplikované zápisy a napomôcť tak ich zrozumiteľnosti.

Príklad z výrokovej logiky

Jeden z možných prístupov k výstavbe výrokovej logiky vychádza z logických spojok implikácie $\rightarrow$ a negácie $\neg$. Pri tomto prístupe sa jazyk, axiomatizácia a odvodzovacie pravidlá formulujú výhradne v reči týchto dvoch symbolov. To ale neznamená, že v tejto logike nie sú latentne prítomné koncepty konjunkcie, disjunkcie alebo ekvivalencie. Tak napríklad pre výroky $\varphi$ a $\textstyle \psi$ možno definovať ich konjunkciu ako syntaktickú skratku:

$\varphi \wedge \psi \,\Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}\neg (\varphi \rightarrow \neg \psi )$

a ich dizjunkciu ako syntaktickú skratku:

$\varphi \vee \psi \,\Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}\neg \varphi \rightarrow \psi .$

S pomocou týchto dvoch skratiek možno dalej definovať ekvivalenciu ako syntaktickú skratku:

$\varphi \leftrightarrow \psi \,\Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}(\varphi \rightarrow \psi )\wedge (\psi \rightarrow \varphi ).$

Napríklad taká jednoduchá, ľahko čitateľná a na prvý pohlad zrozumiteľná teoréma výrokovej logiky akou je komutativita konjunkcie

$(p\wedge q)\leftrightarrow (q\wedge p)$

by sa bez použitia skratiek písala

$\neg ((\neg (p\rightarrow \neg q)\rightarrow \neg (q\rightarrow \neg p))\rightarrow \neg (\neg (q\rightarrow \neg p)\rightarrow \neg (p\rightarrow \neg q))).$

V tomto zápise nie je vôbec vidiet myšlienku ktorú toto tvrdenie vyjadruje.