Binomická rovnica

Binomickou rovnicou nazývame rovnicu v tvare $x^{n}-a=0$ s komplexnou neznámou $x$, číslo $a$ je taktiež komplexné číslo. Exponent neznámej $x$ je prirodzené číslo. Ide o typ rovníc, ktoré sa riešia na Gaussovej rovine komplexných čísiel, teda aj riešenia sú komplexné čísla.

Riešenie binomickej rovnice

Riešenia binomickej rovnice možno nájsť skúmaním goniometrického tvaru komplexného čísla. Majme rovnicu v základnom tvare, pričom obe strany možno prepísať ako komplexné čísla v goniometrickom tvare

$\left|x^{n}\right|\left(\cos n\varphi +{\text{i}}\sin n\varphi \right)=|a|\left(\cos \omega +{\text{i}}\sin \omega \right)\,;\;x,a\in \mathbb {C} ,n\in \mathbb {N}$

Uhol $\omega$ zviera komplexné číslo $a$ s kladnou osou x. Odtiaľ možno porovnávaním strán odvodiť riešenia. Porovnaním absolútnych hodnôt je absolútna hodnota neznámej $x$

$|x|={\sqrt[{n}]{|a|}}$

Porovnaním uhlov a odvodením riešenia je

${\begin{array}{rcl}\cos n\varphi &=&\cos \omega \\n\varphi &=&\omega +2k\pi \\\varphi &=&{\dfrac {\omega +2k\pi }{n}}\end{array}}$

Diskusia

V tomto kroku treba rozobrať diskusiu vzhľadom na uhol $\omega$. Ak číslo $a$ je kladné reálne, potom uvažujeme uhol $\omega =0$. Naopak, ak je $a$ reálne záporné, uvažujeme uhol $\omega =\pi$. Pokiaľ uvažujeme, že $a$ má svoju reálnu aj imaginárnu zložku, teda je komplexné, uhol sa nedá všeobecne vyjadriť. Po tejto diskusii možno písať riešenia

Riešenia

Binomická rovnica má celkom $n$ riešení. Pri ich hľadaní, sa za koeficient $k$ dosadzujú postupne hodnoty množiny $\{0;1;\cdots ;n-1\}$. Tieto riešenia vytvoria v komplexnej rovine akési vrcholy pravidelného $n$-uholníka. Samotné riešenia sú

1. prípad $\omega =0$

$x_{1,2,\cdots ,n}={\sqrt[{n}]{|a|}}\left[\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)+{\text{i}}\sin \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)\right]$

2. prípad $\omega =\pi$

$x_{1,2,\cdots ,n}={\sqrt[{n}]{|a|}}\left[\cos \left({\frac {2k\pi +\pi }{n}}\right)+{\text{i}}\sin \left({\frac {2k\pi +\pi }{n}}\right)\right]$

3. prípad neurčitého $\omega$ a komplexného $a$

$x_{1,2,\cdots ,n}={\sqrt[{n}]{|a|}}\left[\cos \left({\frac {2k\pi +\omega }{n}}\right)+{\text{i}}\sin \left({\frac {2k\pi +\omega }{n}}\right)\right]$