Cauchyho postupnosť

Cauchyho postupnosť alebo fundamentálna postupnosť alebo cauchyovská postupnosť alebo bolzanovská postupnosť je postupnosť bodov daného metrického priestoru, ktorej prvky sú k sebe od určitého miesta ľubovoľne blízko. Každá konvergentná postupnosť je cauchyovská. Úplný metrický priestor sa definuje ako priestor, v ktorom je aj každá cauchyovská postupnosť konvergentná.

Definícia

Nech je daný metrický priestor $(X,d)$. Postupnosť $(x_i)_{i\in \mathbb{N}}$ v $X$ sa nazýva Cauchyho, ak platí:

$\forall \varepsilon>0 \ \exists N\in\N\ \forall m,n\in\N:\ m>N, n>N\implies d(x_m, x_n) < \varepsilon.$