Cauchyho postupnosť

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Cauchyho postupnosť alebo fundamentálna postupnosť alebo cauchyovská postupnosť alebo bolzanovská postupnosť je postupnosť bodov daného metrického priestoru, ktorej prvky sú k sebe od určitého miesta ľubovoľne blízko. Každá konvergentná postupnosť je cauchyovská. Úplný metrický priestor sa definuje ako priestor, v ktorom je aj každá cauchyovská postupnosť konvergentná.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je daný metrický priestor (X,d). Postupnosť (x_i)_{i\in \mathbb{N}} v X sa nazýva Cauchyho, ak platí:

\forall \varepsilon>0 \ \exists N\in\N\ \forall m,n\in\N:\  m>N, n>N\implies d(x_m, x_n) < \varepsilon.