Extrém (funkcia)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Extrém je hodnota funkcie, ktorá má tú vlastnosť, že je buď najmenšia alebo najväčšia spomedzi všetkých funkčných hodnôt. Extrémy funkcie sa rozlišujú na lokálne a globálne.

Lokálne extrémy[upraviť | upraviť zdroj]

Lokálne minimum[upraviť | upraviť zdroj]

Lokálne minimum f(x_0) je najmenšia hodnota, ktorú funkcia f nadobúda na nejakej podmnožine jej definičného oboru A\subset D(f).

\forall x\in A\subset D(f):f(x)>f(x_0)

Lokálne maximum[upraviť | upraviť zdroj]

Lokálne maximum f(x_0) je opak lokálneho minima, teda najväčšia hodnota, ktorú daná funkcia nadobúda na určitej podmnožine jej definičného oboru.

\forall x\in A\subset D(f):f(x)<f(x_0)

Globálne extrémy[upraviť | upraviť zdroj]

Globálne minimum[upraviť | upraviť zdroj]

Globálne minimum f(x_0) je najmenšia funkčná hodnota, spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

\forall x\in D(f):f(x)>f(x_0)

Globálne maximum[upraviť | upraviť zdroj]

Globálne maximum f(x_0) je najväčšia funkčná hodnota, spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

\forall x\in D(f):f(x)<f(x_0)

Hľadanie extrémov funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Funkcia môže mať extrém v bode x_0 vtedy, ak je v danom bode derivácia funkcie nulová. Teda platí

f'(x_0)=0

Ak f^{(2)}(x_0)<0, potom ide o lokálne maximum.
Ak f^{(2)}(x_0)>0, potom ide o lokálne minimum.
Ak f^{(2)}(x_0)=0, potom ide o tzv. sedlový bod, teda sa tu lokálny extrém nenachádza.

Príklad 1[upraviť | upraviť zdroj]

Pri hľadaní extrémov funkcie f(x)=x^2+4x+1 treba najprv funkciu zderivovať. Deriváciou vznikne funkcia f'(x)=2x+4. Extrém je v tom bode, v ktorom je derivácia danej funkcie nulová, a teda

f'(x_0)=0\Leftrightarrow x_0=-2

Druhou derivácia je kladná pre každé x z definičného oboru, a preto má daná kvadratická funkcia v bode -2 minimum.

Príklad 2[upraviť | upraviť zdroj]

Prípad, kedy je derivácia v bode nulová, ale nie je tam extrém je funkcia f(x)=x^3, jej derivácia je f'(x)=3x^2. Možný extrém je v bode 0, pretože f'(0)=0, ale funkcia je na celom intervale stúpajúca, takže sa v tom bode nemôže extrém nachádzať.