Extrém (funkcia)

Extrém je hodnota funkcie, ktorá má tú vlastnosť, že je buď najmenšia alebo najväčšia spomedzi všetkých funkčných hodnôt. Extrémy funkcie sa rozlišujú na lokálne a globálne.

Lokálne extrémy

Lokálne minimum

Lokálne minimum $f(x_{0})$ je najmenšia hodnota, ktorú funkcia $f$ nadobúda na nejakej podmnožine jej definičného oboru $A\subset D(f)$.

$\forall x\in A\subset D(f):f(x)\geq f(x_{0})$

Lokálne maximum

Lokálne maximum $f(x_{0})$ je opak lokálneho minima, teda najväčšia hodnota, ktorú daná funkcia nadobúda na určitej podmnožine jej definičného oboru.

$\forall x\in A\subset D(f):f(x)\leq f(x_{0})$

Globálne extrémy

Globálne minimum

Globálne minimum $f(x_{0})$ je najmenšia funkčná hodnota, spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

$\forall x\in D(f):f(x)\geq f(x_{0})$

Globálne maximum

Globálne maximum $f(x_{0})$ je najväčšia funkčná hodnota, spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

$\forall x\in D(f):f(x)\leq f(x_{0})$

Hľadanie extrémov funkcie

Funkcia môže mať extrém v bode $x_{0}$ vtedy, ak je v danom bode derivácia funkcie nulová. Teda platí

$f'(x_{0})=0$

Ak $f^{(2)}(x_{0})<0$, potom ide o lokálne maximum.
Ak $f^{(2)}(x_{0})>0$, potom ide o lokálne minimum.
Ak $f^{(2)}(x_{0})=0$, potom ide o tzv. sedlový bod, teda sa tu lokálny extrém nenachádza.

Príklad 1

Pri hľadaní extrémov funkcie $f(x)=x^{2}+4x+1$ treba najprv funkciu zderivovať. Deriváciou vznikne funkcia $f'(x)=2x+4$. Extrém je v tom bode, v ktorom je derivácia danej funkcie nulová, a teda

$f'(x_{0})=0\Leftrightarrow x_{0}=-2$

Druhou derivácia je kladná pre každé $x$ z definičného oboru, a preto má daná kvadratická funkcia v bode -2 minimum.

Príklad 2

Prípad, kedy je derivácia v bode nulová, ale nie je tam extrém je funkcia $f(x)=x^{3}$, jej derivácia je $f'(x)=3x^{2}$. Možný extrém je v bode 0, pretože $f'(0)=0$, ale funkcia je na celom intervale stúpajúca, takže sa v tom bode nemôže extrém nachádzať.

Externé odkazy

• Maximum a minimum funkcie