Pás (algebra)

Pás je pologrupa, ktorej operácia je idempotentná. To znamená, že pre každý prvok $a$ pásu platí

$a\cdot a=a$.

Pojem pásu nachádza dôležité uplatnenie v rôznych matematických odvetviach, najmä však v teoretickej počítačovej vede.

Jednoduché príklady

• Ľubovoľný zväz tvorí pás vzhľadom ku obidvom svojim zväzovým operáciám. Napríklad množina reálnych čísel spolu s operáciou, ktorá každej dvojici čísel priradí to väčšie z nich, je pás. Ale tá istá množina tvorí pás aj vzhľadom k operácii, ktorá každej dvojici čísel priradí to menšie z nich.
• Nech $a$ je ľubovoľné, ale pevne zvolené číslo z jednotkového intervalu $[0,1]$. Jednotkový interval tvorí pás vzhľadom k binárnej operácii

$x\cdot y = \min\{\max\{x,y\},\max\{a,\min\{x,y\}\}\}$

• Ľubovoľná množina spolu s operáciou ľavej alebo pravej projekcie tvorí pás.

Špeciálne triedy pásov

Polozväzy

Každý komutatívny pás je polozväz (v algebrickom zmysle slova) a naopak.

Štvoruholníkové, pravo-nulové a ľavo-nulové pásy

Štvoruholníkový pás je pás, v ktorom pre každé tri prvky $x, y, z$ platí

$x\cdot y\cdot z = x\cdot z$

Tejto vlastnosti sa niekedy hovorí štvoruholníková vlastnosť.

Napríklad pre dané ľubovolné neprázdne množiny I a J možno definovať pologrupovú operáciu na $I \times J$ predpisom

$(i, j) \cdot (k, l) = (i, l)$

Výsledná pologrupa je štvoruholníkový pás, lebo

1. pre každý pár (i,j) máme $(i, j) \cdot (i, j) = (i,j)$
2. pre každé 3 páry $\big (i_x, j_x), (i_y, j_y), (i_z, j_z)$ máme

$(i_x, j_x) \cdot (i_y, j_y) \cdot (i_z, j_z) = (i_x, j_z) = (i_x, j_x) \cdot (i_z, j_z)$

Ľavo-nulový pás je pás splňujúci xy = y. Symetricky pravo-nulový pás splňuje xy = x. V určitých pravo-nulových a ľavo-nulových pásoch sú štvoruholníkové pásy a fakticky každý štvoruholníkový pás je izomorfný k direktnému súčinu ľavo-nulového pásu a pravo-nulového pásu.

Regulárne pásy

Regulárny pás je pás, v ktorom pre každé tri prvky $x, y, z$ platí

$x\cdot y\cdot x\cdot z\cdot x = x\cdot y\cdot z\cdot x$

Zväz variet pásov

Zväz variet pásov je spočítateľný. Vyplýva to z toho, že každá equacionálna trieda pásov je určená konečným počtom identít. Variety polozväzov, pravo-nulových a ľavo-nulových pásov predstavujú tri netriviálne minimálne prvky tohoto zväzu.

Referencie

• CLIFFORD, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (1972). The Algebraic Theory of Semigroups, Russian translation, Moskva: Mir.

• NAGY, Attila (2001). Special Classes of Semigroups. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-6890-8.