Pás (algebra)

Pás je pologrupa, ktorej operácia je idempotentná. To znamená, že pre každý prvok $a$ pásu platí

$a\cdot a=a$.

Pojem pásu nachádza dôležité uplatnenie v rôznych matematických odvetviach, najmä však v teoretickej počítačovej vede.

Jednoduché príklady

• Ľubovoľný zväz tvorí pás vzhľadom ku obidvom svojim zväzovým operáciám. Napríklad množina reálnych čísel spolu s operáciou, ktorá každej dvojici čísel priradí to väčšie z nich, je pás. Ale tá istá množina tvorí pás aj vzhľadom k operácii, ktorá každej dvojici čísel priradí to menšie z nich.
• Nech $a$ je ľubovoľné, ale pevne zvolené číslo z jednotkového intervalu $[0,1]$. Jednotkový interval tvorí pás vzhľadom k binárnej operácii

$x\cdot y=\min\{\max\{x,y\},\max\{a,\min\{x,y\}\}\}$

• Ľubovoľná množina spolu s operáciou ľavej alebo pravej projekcie tvorí pás.

Špeciálne triedy pásov

Polozväzy

Každý komutatívny pás je polozväz (v algebrickom zmysle slova) a naopak.

Štvoruholníkové, pravo-nulové a ľavo-nulové pásy

Štvoruholníkový pás je pás, v ktorom pre každé tri prvky $x,y,z$ platí

$x\cdot y\cdot z=x\cdot z$

Tejto vlastnosti sa niekedy hovorí štvoruholníková vlastnosť.

Napríklad pre dané ľubovoľné neprázdne množiny I a J možno definovať pologrupovú operáciu na $I\times J$ predpisom

$(i,j)\cdot (k,l)=(i,l)$

Výsledná pologrupa je štvoruholníkový pás, lebo

1. pre každý pár (i,j) máme $(i,j)\cdot (i,j)=(i,j)$
2. pre každé 3 páry ${\big (}i_{x},j_{x}),(i_{y},j_{y}),(i_{z},j_{z})$ máme

$(i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})$

Ľavo-nulový pás je pás splňujúci xy = y. Symetricky pravo-nulový pás splňuje xy = x. V určitých pravo-nulových a ľavo-nulových pásoch sú štvoruholníkové pásy a fakticky každý štvoruholníkový pás je izomorfný k direktnému súčinu ľavo-nulového pásu a pravo-nulového pásu.

Regulárne pásy

Regulárny pás je pás, v ktorom pre každé tri prvky $x,y,z$ platí

$x\cdot y\cdot x\cdot z\cdot x=x\cdot y\cdot z\cdot x$

Zväz variet pásov

Zväz variet pásov je spočítateľný. Vyplýva to z toho, že každá equacionálna trieda pásov je určená konečným počtom identít. Variety polozväzov, pravo-nulových a ľavo-nulových pásov predstavujú tri netriviálne minimálne prvky tohoto zväzu.

Referencie

• CLIFFORD, Alfred Hoblitzelle, Preston, Gordon Bamford The Algebraic Theory of Semigroups. Moskva : Mir, 1972.
• NAGY, Attila. Special Classes of Semigroups. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 0-7923-6890-8.

Matematický portál