Čiastočne usporiadaná množina

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Hasseho diagram deliteľov čísla 60 usporiadaných reláciou deliteľnosti.

Čiastočne usporiadaná množina, úspornejšie usporiadaná množina alebo poset, je množina spolu s informáciou na základe ktorej je možné navzájom porovnávať jej prvky. Napríklad zákazník, ktorý sa práve chystá kúpiť automobil, má všetky na trhu dostupné modely zoradené podľa preferencií a každú dvojicu automobilov vie porovnať. To znamená, že sa vie rozhodnúť či niektorý model z danej dvojice preferuje, a ak áno, ktorý. Presne je usporiadaná množina definovaná ako dvojica

(P,\le)

kde P je množina a \le je na nej definovaná binárna relácia ktorá je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Relácia, ktorá súčasne spĺňa tieto tri vlastnosti sa nazýva relácia usporiadania alebo jednoducho usporiadanie. Štúdiu usporiadaných množín sa venuje teória usporiadania.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

  • Slová slovenského jazyka spolu s lexikografickým usporiadaním tvoria usporiadanú množinu. Podľa tohoto usporiadania sú zoradené napríklad v slovníku slovenského pravopisu.
  • Množina reálnych čísel a všetky jej podmnožiny sú usporiadané reláciou "menší alebo rovný".
  • Množina prirodzených čísel je usporiadaná reláciou deliteľnosti celých čísel. Toto usporiadanie má komplikovanú štruktúru. Existujú v ňom neporovnateľné prvky, napríklad číslo 3 nie je deliteľom čísla 4 a ani naopak, číslo 4 nie je deliteľom čísla 3.
  • Na množine reálnych funkcií definovaných na pevne zvolenej množine A sa často definuje relácia usporiadania podmienkou, že f \le g vtedy a len vtedy ak f(a)\le g(a) pre každé a z množiny A. Aj v tomto usporiadaní existujú neporovnateľné prvky.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  • B.A. Davey, H.A. Priestley, Introduction to Lattices and Order. Cambridge University Press 2002. ISBN 0521784514