Bernoulliho rovnica

Obr. 1.a Prúdová trubica s naznačenými prúdnicami

Obr. 1.b Pohyb tekutiny v prúdovej trubici

Bernoulliho rovnica je dôležitý vzťah používaný v hydrodynamike, ktorý je matematickým vyjadrením zákona zachovania energie v ustálenom toku kvapaliny alebo plynu. Zákon odvodil švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli.

Odvodenie

Jedno z možných odvodení Bernoulliho rovnice vychádza zo zákona zachovania energie v kvapaline. Pri odvádzaní sa využíva predpoklad ustálenosti prúdenia, tj. že na žiadnom mieste tekutiny sa rýchlosť nemení s časom.

Predstavme si zväzok blízkych prúdnic, ktoré formujú prúdovú trubicu ako na obr. 1a. Keďže steny trubice sú tvorené prúdnicami, nevyteká nimi žiadna tekutina. Označme plochu prierezu na vtoku do trubice $S_1$, rýchlosť tekutiny v tomto bode označme $v_1$. Obdobne označme plochu prierezu a rýchlosť tekutiny na výtoku ako $S_2$ a $v_2$. Keďže prúdenie je ustálené, v trubici sa nemôže hromadiť tekutina. To znamená, že hmotnosť vytečenej a vtečenej tekutiny za jednotku času musí byť rovnaká:

$\Delta M = \rho_1 S_1 v_1 \Delta t = \rho_2 S_2 v_2 \Delta t$

Máme teda rovnosť:

$\rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2$

Tiež známu ako rovnicu kontinuity.

Teraz vypočítame prácu, ktorú vykonal tlak v tekutine. Práca vykonaná na tekutine, ktorá vteká do $S_1$ je $p_1 S_1 v_1 \Delta t$ zatiaľ čo práca odovzdaná na výtoku je $p_2 S_2 v_2 \Delta t$. Výsledná práca vykonaná na tekutine medzi $S_1$ a $S_2$ je preto:

$p_1 S_1 v_1 \Delta t - p_2 S_2 v_2 \Delta t$

a musí byť rovná zvýšeniu energie tekutiny hmotnosti $\Delta M$ pri prechode z $S_1$ do $S_2$. Teda:

$p_1 S_1 v_1 \Delta t - p_2 S_2 v_2 \Delta t = \Delta M(E_2 - E_1)$

pričom $E_1$ je energia na jednotku hmotnosti tekutiny na vtoku a $E_2$ na výtoku. Energiu na jednotku hmotnosti môžeme zapísať ako:

$E = \frac{1}{2} v^2 + \varphi + W$

Kde $\frac{1}{2} v^2$ je kinetická energia na jednotku hmotnosti, $\varphi$ je potenciálna energia na jednotku hmotnosti a $W$ je člen, ktorý reprezentuje vnútornú energiu jednotky hmotnosti tekutiny. Dosadením vzťahu do predchádzajucej rovnice potom dostávame:

$\frac{p_1 S_1 v_1 \Delta t - p_2 S_2 v_2 \Delta t}{\Delta M} = \frac{1}{2} v_2^2 + \varphi_2 + W_2 - \frac{1}{2} v_1^2 - \varphi_1 - W_1$

Keďže však $\Delta M = \rho S v \Delta t$, tak dostaneme výraz:

$\frac{p_1}{\rho_1} + \frac{1}{2} v_1^2 + \varphi_1 + W_1 = \frac{p_2}{\rho_2} + \frac{1}{2}v_2^2 + \varphi_2 + W_2$

známy tiež ako Bernoulliho rovnica.

Bernoulliho rovnica pre ideálnu kvapalinu

Ideálna kvapalina je nestlačiteľná a neviskózna, preto je vnútorná energia na oboch stranách rovnice rovnaká a možno ju od oboch strán odčítať. Rovnako je rovnaká hustota, ktorá sa z premenej stane konštantou. Po úprave:

$\frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2} v_1^2 + \varphi_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}v_2^2 + \varphi_2$

Vymedzenie platnosti

Vyššie uvedená rovnica platí len pre nasledovné prípady:

1. stále sa uvažuje ustálené prúdenie tekutiny
2. ide o niektorú z nasledovných geometrických podmienok:
   • nevírivé prúdenie kvapaliny — v tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet všetkých členov jednej strany je konštantný v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdiacej tekutiny.
   • vírivé prúdenie po prúdnici — rovnica platí len pre jednotlivú prúdnicu, súčet členov pre rôzne prúdnice nie je rovnaký.
   • vírivé prúdenie po vírovej čiare — rovnica platí len pre jednotlivú vírovú čiaru, súčet členov pre rôzne vírové čiary nie je rovnaký.
   • skrutkový pohyb kvapaliny — je to pohyb pri ktorom je každá prúdnica totožná s nejakou vírovou čiarou. častice kvapaliny teda prúdia po prúdnici a pritom sa okolo nej otáčajú. V tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet členov v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdu je konštantný.

Prúdenie v gravitačnom poli

Pre špecifický (a prakticky najužitočnejší) prípad prúdenia v gravitačnom poli zeme sa člen potenciálnej energie na jednotku hmotnosti môže nahradiť vzťahom $\varphi = gh \$ Potom je platí:

$\frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2} v_1^2 + gh_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}v_2^2 + gh_2$

Táto, ako aj všetky vyššie uvedené rovnice sú vo forme špecifických energií. Každý člen, ako aj súčet má rozmer J.kg^-1.

Iné formy rovnice

Pre praktické účely sa využívajú aj iné formy vyjadrenia Bernoulliho rovnice: Po vydelení základnej formy gravitačným zrýchlením je rovnica v tvare výšok s rozmerom každého člena v m:

$\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + h_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2$

kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:

• tlaková výška
• rýchlostná výška
• výška (polohová výška)

Po vynásobení základnej formy hustotou je rovnica v tvare tlakov s rozmerom každého člena v Pa:

$p_1 + \frac{v_1^2\rho}{2} + \rho g h_1 = p_2 + \frac{v_2^2\rho}{2} + \rho gh_2$

kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:

• tlak
• dynamický tlak
• hydrostatický tlak

Zjednodušená Bernoulliho rovnica

Ak kvapalina neprekonáva žiaden potenciálový rozdiel, rovnica sa zjednoduší do známejšieho tvaru:

$p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$

Ktorý hovorí, že súčet hustoty kinetickej energie kvapaliny a jej tlaku je v každom bode prúdnice rovnaký.

• ρ — hustota kvapaliny
• p — tlak v kvapaline
• v — rýchlosť prúdenia kvapaliny

Z tejto rovnice vyplýva, že čím je rýchlosť prúdenia kvapaliny vyššia, tým je tlak v nej nižší (Venturiho efekt).

Názvoslovie členov v Bernoulliho rovnici

V zjednodušenej Bernoulliho rovnici:

$p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$

Vyjadruje prvý člen prácu vykonanú na kvapaline a druhý člen jej kinetickú energiu. Z tohto dôvodu sa občas prvý člen zvykne nazývať hustotou tlakovej práce, často sa však stretneme aj s pojmom hustota tlakovej energie. Je dôležité upozorniť, že sa nejedná o energiu v pravom slova zmysle, ale člen svoj názov pravdepodobne dostal preto, že má rozmer hustoty energie. Niektorí autori preto odporúčajú vyvarovať sa používaniu mätúceho, avšak zaužívaneho, pojmu hustota tlakovej energie a hovoriť miesto toho o hustote tlakovej práce

Zdroje

• Feynmanove prednášky z Fyziky, druhý diel (ISBN 80-7200-420-4)