Bernoulliho rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Obr. 1.a Prúdová trubica s naznačenými prúdnicami
Obr. 1.b Pohyb tekutiny v prúdovej trubici

Bernoulliho rovnica je dôležitý vzťah používaný v hydrodynamike, ktorý je matematickým vyjadrením zákona zachovania energie v ustálenom toku kvapaliny alebo plynu. Zákon odvodil švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli.

Odvodenie[upraviť | upraviť zdroj]

Jedno z možných odvodení Bernoulliho rovnice vychádza zo zákona zachovania energie v kvapaline. Pri odvádzaní sa využíva predpoklad ustálenosti prúdenia, tj. že na žiadnom mieste tekutiny sa rýchlosť nemení s časom.

Predstavme si zväzok blízkych prúdnic, ktoré formujú prúdovú trubicu ako na obr. 1a. Keďže steny trubice sú tvorené prúdnicami, nevyteká nimi žiadna tekutina. Označme plochu prierezu na vtoku do trubice S_1, rýchlosť tekutiny v tomto bode označme v_1. Obdobne označme plochu prierezu a rýchlosť tekutiny na výtoku ako S_2 a v_2. Keďže prúdenie je ustálené, v trubici sa nemôže hromadiť tekutina. To znamená, že hmotnosť vytečenej a vtečenej tekutiny za jednotku času musí byť rovnaká:

\Delta M = \rho_1 S_1 v_1 \Delta t = \rho_2 S_2 v_2 \Delta t

Máme teda rovnosť:

\rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2

Tiež známu ako rovnicu kontinuity.

Teraz vypočítame prácu, ktorú vykonal tlak v tekutine. Práca vykonaná na tekutine, ktorá vteká do  S_1 je  p_1 S_1 v_1 \Delta t zatiaľ čo práca odovzdaná na výtoku je  p_2 S_2 v_2 \Delta t . Výsledná práca vykonaná na tekutine medzi  S_1 a S_2 je preto:

 p_1 S_1 v_1 \Delta t - p_2 S_2 v_2 \Delta t

a musí byť rovná zvýšeniu energie tekutiny hmotnosti  \Delta M pri prechode z 
S_1 do  S_2 . Teda:

 p_1 S_1 v_1 \Delta t - p_2 S_2 v_2 \Delta t = \Delta M(E_2 - E_1)

pričom  E_1 je energia na jednotku hmotnosti tekutiny na vtoku a  E_2 na výtoku. Energiu na jednotku hmotnosti môžeme zapísať ako:

 E = \frac{1}{2} v^2 + \varphi + W

Kde  \frac{1}{2} v^2 je kinetická energia na jednotku hmotnosti,  \varphi
je potenciálna energia na jednotku hmotnosti a  W je člen, ktorý reprezentuje vnútornú energiu jednotky hmotnosti tekutiny. Dosadením vzťahu do predchádzajucej rovnice potom dostávame:

 \frac{p_1 S_1 v_1 \Delta t - p_2 S_2 v_2 \Delta t}{\Delta M} = \frac{1}{2} v_2^2 +
\varphi_2 + W_2 - \frac{1}{2} v_1^2 - \varphi_1 - W_1

Keďže však  \Delta M = \rho S v \Delta t , tak dostaneme výraz:

 \frac{p_1}{\rho_1} + \frac{1}{2} v_1^2 + \varphi_1 + W_1 = \frac{p_2}{\rho_2} + \frac{1}{2}v_2^2 +
\varphi_2 + W_2

známy tiež ako Bernoulliho rovnica.

Bernoulliho rovnica pre ideálnu kvapalinu[upraviť | upraviť zdroj]

Ideálna kvapalina je nestlačiteľná a neviskózna, preto je vnútorná energia na oboch stranách rovnice rovnaká a možno ju od oboch strán odčítať. Rovnako je rovnaká hustota, ktorá sa z premenej stane konštantou. Po úprave:

 \frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2} v_1^2 + \varphi_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}v_2^2 + \varphi_2

Vymedzenie platnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Vyššie uvedená rovnica platí len pre nasledovné prípady[1]:

  1. stále sa uvažuje ustálené prúdenie tekutiny
  2. ide o niektorú z nasledovných geometrických podmienok:
    • nevírivé prúdenie kvapaliny — v tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet všetkých členov jednej strany je konštantný v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdiacej tekutiny.
    • vírivé prúdenie po prúdnici — rovnica platí len pre jednotlivú prúdnicu, súčet členov pre rôzne prúdnice nie je rovnaký.
    • vírivé prúdenie po vírovej čiare — rovnica platí len pre jednotlivú vírovú čiaru, súčet členov pre rôzne vírové čiary nie je rovnaký.
    • skrutkový pohyb kvapaliny — je to pohyb pri ktorom je každá prúdnica totožná s nejakou vírovou čiarou. častice kvapaliny teda prúdia po prúdnici a pritom sa okolo nej otáčajú. V tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet členov v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdu je konštantný.

Prúdenie v gravitačnom poli[upraviť | upraviť zdroj]

Pre špecifický (a prakticky najužitočnejší) prípad prúdenia v gravitačnom poli zeme sa člen potenciálnej energie na jednotku hmotnosti môže nahradiť vzťahom  \varphi = gh \ Potom je platí:

 \frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2} v_1^2 + gh_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}v_2^2 + gh_2

Táto, ako aj všetky vyššie uvedené rovnice sú vo forme špecifických energií. Každý člen, ako aj súčet má rozmer J.kg-1.

Iné formy rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Pre praktické účely sa využívajú aj iné formy vyjadrenia Bernoulliho rovnice: Po vydelení základnej formy gravitačným zrýchlením je rovnica v tvare výšok s rozmerom každého člena v m:

 \frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g}  + h_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2

kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:

  • tlaková výška
  • rýchlostná výška
  • výška (polohová výška)

Po vynásobení základnej formy hustotou je rovnica v tvare tlakov s rozmerom každého člena v Pa:

 p_1 + \frac{v_1^2\rho}{2}  + \rho g h_1 = p_2 + \frac{v_2^2\rho}{2} + \rho gh_2

kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:

  • tlak
  • dynamický tlak
  • hydrostatický tlak

Zjednodušená Bernoulliho rovnica[upraviť | upraviť zdroj]

Ak kvapalina neprekonáva žiaden potenciálový rozdiel, rovnica sa zjednoduší do známejšieho tvaru:

 p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2

Ktorý hovorí, že súčet hustoty kinetickej energie kvapaliny a jej tlaku je v každom bode prúdnice rovnaký.

Z tejto rovnice vyplýva, že čím je rýchlosť prúdenia kvapaliny vyššia, tým je tlak v nej nižší (Venturiho efekt).

Názvoslovie členov v Bernoulliho rovnici[upraviť | upraviť zdroj]

V zjednodušenej Bernoulliho rovnici:

 p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2

Vyjadruje prvý člen prácu vykonanú na kvapaline a druhý člen jej kinetickú energiu. Z tohto dôvodu sa občas prvý člen zvykne nazývať hustotou tlakovej práce, často sa však stretneme aj s pojmom hustota tlakovej energie. Je dôležité upozorniť, že sa nejedná o energiu v pravom slova zmysle, ale člen svoj názov pravdepodobne dostal preto, že má rozmer hustoty energie. Niektorí autori preto odporúčajú vyvarovať sa používaniu mätúceho, avšak zaužívaneho, pojmu hustota tlakovej energie a hovoriť miesto toho o hustote tlakovej práce

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. Gančo Martin: Mechanika tekutín. 2. vydanie. Bratislava, Alfa. 1990 (SVŠT SjF)