Beta funkcia

Beta funkcia (iné názvy: B-funkcia, funkcia beta, Eulerov integrál prvého druhu) je špeciálny typ funkcie využívaný v matematike.

Definícia

Funkciu definovanú pre $x > 0$ a $y > 0$ nasledovným predpisom:

$\begin{array}{lcl} B(x, y) = \operatorname\int_0^1 t^{x-1} (1 - t)^{y-1}\,\mathrm{d}t \end{array}$

nazývame beta funkcia alebo Eulerov integrál prvého druhu.

Funkciu beta môžeme definovať aj pomocou gama funkcie, a to nasledovne:

$B(x, y) =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

Dôležité vzťahy a vlastnosti

Niektoré dôležité vzťahy a vlastnosti, ktoré platia pre beta funkciu:

• beta funkcia je symetrická, teda:
  

$\operatorname B(x, y) = B(y, x)$

• $B(x, y) = \frac{y-1}{x+y-1}B(x, y-1)$

• $B(x, n) = \frac{(n-1)!}{x(x+1)(x+2)+ \cdots +(x+n+1)}$ pre $n = 1, 2, \cdots$

• $B(x, y) = \int_0^\infty \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t$

• $B(x, 1-x) = \frac{\pi}{sin(\pi x)}$ pre $x \in (0, 1)$

Zdroj

• BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156. (slovenčina)