Beta funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Beta funkcia (iné názvy: B-funkcia, funkcia beta, Eulerov integrál prvého druhu) je špeciálny typ funkcie využívaný v matematike.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Funkciu definovanú pre x > 0 a y > 0 nasledovným predpisom:


\begin{array}{lcl}
  B(x, y) = \operatorname\int_0^1  t^{x-1} (1 - t)^{y-1}\,\mathrm{d}t 
\end{array}

nazývame beta funkcia alebo Eulerov integrál prvého druhu.

Funkciu beta môžeme definovať aj pomocou gama funkcie, a to nasledovne:

B(x, y) =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

Dôležité vzťahy a vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Niektoré dôležité vzťahy a vlastnosti, ktoré platia pre beta funkciu:

  • beta funkcia je symetrická, teda:
\operatorname B(x, y) = B(y, x)
  • B(x, y) = \frac{y-1}{x+y-1}B(x, y-1)
  • B(x, n) = \frac{(n-1)!}{x(x+1)(x+2)+ \cdots +(x+n+1)} pre n = 1, 2, \cdots
  • B(x, y) = \int_0^\infty \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t
  • B(x, 1-x) = \frac{\pi}{sin(\pi x)} pre x \in (0, 1)

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.