Gama funkcia

Gama funkcia

Gama funkcia (iné názvy: funkcia gama, $\Gamma$-funkcia, Eulerov integrál druhého druhu) je zovšeobecnenie faktoriálu na obore komplexných čísiel.

Funkcia faktoriál je pre prirodzené čísla definovaná nasledovným súčinom:

$n! = n(n-1)(n-2)\ldots\times3\times2\times1$

Gama funkcia nahrádza túto funkciu pre reálne a komplexné čísla:

$\Gamma(z+1)=z!\,$

Pretože hodnoty funkcie faktoriál a gama rastú veľmi rýchlo, pri počítaní sa používa prirodzený logaritmus gama funkcie $ln(\Gamma)$: hodnoty rastú oveľa pomalšie a pri počítaní dovoľujú sčítavanie a odčítavanie namiesto násobenia a delenia.

Definícia

Funkciu definovanú pre $x > 0$ nasledovným predpisom:

$\begin{array}{lcl} \Gamma(x) = \operatorname\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t \end{array}$

nazývame gama funkciou (alebo tiež Eulerovým integrálom druhého druhu).

Tieto vzťahy definujú gama funkciu v oblasti $\text{Re}z>0$. Gamma funkcia má rozšírenie do komplexnej roviny pomocou analytického predĺženia. Potom je definovaná v každom komplexnom čísle okrem $\{ 0,-1,-2,-3,\dots \}$, kde má póly.

Dôležité vzťahy

Niektoré dôležité vzťahy, ktoré platia pre gama funkciu:

• $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)\,$
• $\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin {\pi x}} \; \mbox{ pre } 0 < x < 1$
• $\Gamma(x)\Gamma\left(x+\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2x-1}}\Gamma(2x)$

Špeciálne pre prirodzené čísla $n$ budeme mať:

$\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}$

• Pre prirodzené čísla $n$ platí nasledovné: $\Gamma(n) = (n-1)! \,$

• $B(x, y) =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

• $\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^x}{x \; (x+1)\cdots(x+n)} \,\!$

Nasledujúca definícia gama funkcie obsahujúca nekonečný súčin platí pre všetky komplexné čísla $x$, ktoré nie sú reálne záponé alebo nula.

$\Gamma(x) = \frac{e^{-\gamma x}}{x} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \,\!$

kde $\gamma$ je Eulerova-Mascheroniova konštanta.

Niektoré hodnoty

V nasledujúcej kapitole sú uvedené niektoré konkrétne hodnoty, ktoré funkcia gama nadobúda:

$\Gamma(-2)\,$	(nedefinované)
$\Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)\,$	$= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} \,$
$\Gamma(-1)\,$	(nedefinované)
$\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)\,$	$= -2\sqrt{\pi}\,$
$\Gamma(0)\,$	(nedefinované)
$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\,$	$= \sqrt{\pi}\,$
$\Gamma(1)\,$	$=0!=1 \,$
$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\,$	$= \frac {\sqrt{\pi}} {2} \,$
$\Gamma(2)\,$	$=1!=1 \,$
$\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\,$	$= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \,$
$\Gamma(3)\,$	$=2!=2 \,$
$\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\,$	$= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} \,$
$\Gamma(4)\,$	$=3!=6 \,$
$\lim_{z \to 0 +} \Gamma(z)\,$	$= +\infty \,$
$\lim_{z \to +\infty} \Gamma(z)\,$	$= +\infty \,$

Zdroj

• BARNOVSKÁ, Mária, kol.Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156. (slovenčina)
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Gama funkce na českej Wikipédii.