Faktoriál

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

V matematike sa pojmom faktoriál kladného celého čísla n označuje súčin všetkých kladných celých čísel menších alebo rovných n. Zapisuje sa n! a číta sa „n faktoriál“. Napríklad:

5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Faktoriál kladného celého čísla n je definovaný vzťahom:

 n!=\prod_{k=1}^n k

Pre potreby kombinatoriky je výhodné definovať aj faktoriál nuly. V takom prípade sa definitoricky kladie 0!=1.

Kombinatorické súvislosti[upraviť | upraviť zdroj]

Faktoriál čísla n sa rovná počtu rôznych permutácii n-prvkovej množiny.

Asymptotické vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Funkcia faktoriál rastie rýchlejšie, než akákoľvek exponenciálna funkcia a tým skôr rýchlejšie než akýkoľvek mnohočlen. Pre zaujímavosť, už 70! predstavuje približne číslo 1,197·10100 čo je číslo väčšie ako odhadovaný počet atómov v nám známom vesmíre.

Algoritmické implementácie[upraviť | upraviť zdroj]

Implementácia pomocou rekurzívnej funkcie. Ukážka v pseudokóde:

 function faktorial(n)
     if n = 0
         then return 1
         else return n * faktorial(n - 1)

Ukážka implementácie v programovacom jazyku C:

 long double faktorial (int n) {
     long double b = 1;
     while (n--)
          b*=n+1;
     return b;
 }

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál[upraviť | upraviť zdroj]

Okrem bežného faktoriálu sa môže definovať tiež dvojitý faktoriál, označený n!!, v ktorom sa činitele znižujú po dvoch namiesto po jednom. Je možno ho rekurzívne definovať ako

n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pre }n=0\mbox{ alebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pre }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.


Napríklad 8!! = 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 384, 9!! = 9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = 945.


Postupnosť dvojitých faktoriálov čísel 0, 1, 2, … začína

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …


Okrem dvojitého faktoriálu môžeme túto ideu zovšeobecniť na (už nie príliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atď. (všeobecne n!(k)).

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]