Faktoriál
z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
V matematike sa pojmom faktoriál kladného celého čísla n označuje súčin všetkých kladných celých čísel menších alebo rovných n. Zapisuje sa n! a číta sa "n faktoriál". Napríklad:
Obsah |
[upraviť] Definícia
Faktoriál kladného celého čísla n je definovaný vzťahom:
Pre potreby kombinatoriky je výhodné definovať aj faktoriál nuly. V takom prípade sa definitoricky kladie 0! = 1.
[upraviť] Kombinatorické súvislosti
Faktoriál čísla n sa rovná počtu rôznych permutácii n-prvkovej množiny.
[upraviť] Asymptotické vlastnosti
Funkcia faktoriál rastie rýchlejšie, než akákoľvek exponenciálna funkcia a tým skôr rýchlejšie než akýkoľvek mnohočlen. Pre zaujímavosť, už 70! predstavuje približne číslo 1,197·10100 čo je číslo väčšie ako odhadovaný počet atómov v nám známom vesmíre.
[upraviť] Algoritmické implementácie
Implementácia pomocou rekurzívnej funkcie. Ukážka v pseudokóde:
function faktorial(n)
if n = 0
then return 1
else return n * faktorial(n - 1)
Ukážka implementácie v programovacom jazyku C:
long double faktorial (int n) {
long double b = 1;
while (n--)
b*=n+1;
return b;
}
[upraviť] Dvojitý faktoriál, multifaktoriál
Okrem bežného faktoriálu sa môže definovať tiež dvojitý faktoriál, značený n!!, v ktorom sa činitele znižujú po dvoch namiesto po jednom. Je možno ho rekurzívne definovať ako
Napríklad 8!! = 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 384, 9!! = 9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = 945.
Postupnosť dvojitých faktoriálov čísel 0, 1, 2, … začína
- 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …
Okrem dvojitého faktoriálu môžeme túto ideu zovšeobecniť na (už nie príliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atď. (všeobecne n!(k)).


