Faktoriál

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie

V matematike sa pojmom faktoriál kladného celého čísla n označuje súčin všetkých kladných celých čísel menších alebo rovných n. Zapisuje sa n! a číta sa "n faktoriál". Napríklad:

Obsah 1 Definícia 2 Kombinatorické súvislosti 3 Asymptotické vlastnosti 4 Algoritmické implementácie 5 Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

[upraviť] Definícia

Faktoriál kladného celého čísla n je definovaný vzťahom:

Pre potreby kombinatoriky je výhodné definovať aj faktoriál nuly. V takom prípade sa definitoricky kladie 0! = 1.

[upraviť] Kombinatorické súvislosti

Faktoriál čísla n sa rovná počtu rôznych permutácii n-prvkovej množiny.

[upraviť] Asymptotické vlastnosti

Funkcia faktoriál rastie rýchlejšie, než akákoľvek exponenciálna funkcia a tým skôr rýchlejšie než akýkoľvek mnohočlen. Pre zaujímavosť, už 70! predstavuje približne číslo 1,197·10¹⁰⁰ čo je číslo väčšie ako odhadovaný počet atómov v nám známom vesmíre.

[upraviť] Algoritmické implementácie

Implementácia pomocou rekurzívnej funkcie. Ukážka v pseudokóde:

 function faktorial(n)
     if n = 0
         then return 1
         else return n * faktorial(n - 1)

Ukážka implementácie v programovacom jazyku C:

 long double faktorial (int n) {
     long double b = 1;
     while (n--)
          b*=n+1;
     return b;
 }

[upraviť] Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Okrem bežného faktoriálu sa môže definovať tiež dvojitý faktoriál, značený n!!, v ktorom sa činitele znižujú po dvoch namiesto po jednom. Je možno ho rekurzívne definovať ako

Napríklad 8!! = 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 384, 9!! = 9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = 945.

Postupnosť dvojitých faktoriálov čísel 0, 1, 2, … začína

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …

Okrem dvojitého faktoriálu môžeme túto ideu zovšeobecniť na (už nie príliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atď. (všeobecne n!^(k)).