Faktoriál

V matematike sa pojmom faktoriál kladného celého čísla $n$ označuje súčin všetkých kladných celých čísel menších alebo rovných $n$. Zapisuje sa $n!$ a číta sa „n faktoriál“. Napríklad:

$5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120$

Definícia

Faktoriál kladného celého čísla $n$ je definovaný vzťahom:

$n!=\prod_{k=1}^n k$

Pre potreby kombinatoriky je výhodné definovať aj faktoriál nuly. V takom prípade sa definitoricky kladie $0!=1$.

Kombinatorické súvislosti

Faktoriál čísla $n$ sa rovná počtu rôznych permutácii $n$-prvkovej množiny.

Asymptotické vlastnosti

Funkcia faktoriál rastie rýchlejšie, než akákoľvek exponenciálna funkcia a tým skôr rýchlejšie než akýkoľvek mnohočlen. Pre zaujímavosť, už $70!$ predstavuje približne číslo 1,197·10¹⁰⁰ čo je číslo väčšie ako odhadovaný počet atómov v nám známom vesmíre.

Algoritmické implementácie

Implementácia pomocou rekurzívnej funkcie. Ukážka v pseudokóde:

 function faktorial(n)
     if n = 0
         then return 1
         else return n * faktorial(n - 1)

Ukážka implementácie v programovacom jazyku C:

 long double faktorial (int n) {
     long double b = 1;
     while (n--)
          b*=n+1;
     return b;
 }

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Okrem bežného faktoriálu sa môže definovať tiež dvojitý faktoriál, označený n!!, v ktorom sa činitele znižujú po dvoch namiesto po jednom. Je možno ho rekurzívne definovať ako

$n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pre }n=0\mbox{ alebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pre }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.$

Napríklad 8!! = 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 384, 9!! = 9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = 945.

Postupnosť dvojitých faktoriálov čísel 0, 1, 2, … začína

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …

Okrem dvojitého faktoriálu môžeme túto ideu zovšeobecniť na (už nie príliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atď. (všeobecne n!^(k)).

Externé odkazy

• Výpočet faktoriálu (0≤N≤40000)