Permutácia (algebra)

Permutácia množiny $A$ je každá bijekcia z množiny $A$ do množiny $A$.

Vlastnosti

• Množina všetkých permutácií pevne zvolenej množiny je uzavretá vzhľadom na kompozície zobrazení. Čiže, ak $\pi_{1},\pi_{2}\colon A\to A$ sú permutácie množiny $A$, potom aj kompozície $\pi_{1}\!\circ\pi_{2}$ a $\pi_{2}\circ\pi_{1}$ sú permutáciami množiny $A$. Z toho vyplýva, že množina všetkých permutácii pevne zvolenej množiny $A$ spolu s operáciou skladania zobrazení tvorí grupu.
• Počet rôznych permutácií konečnej $n$-prvkovej množiny je $n!$ (čiže $n$ faktoriál).

Cykly permutácie

Pre pevne zvolenú množinu $A$ a pre jej pevne zvolenú permutáciu $\pi\colon A\to A$ sa definuje na množine $A$ relácia $\sim_{\!\pi\,}$ podmienkou, že $x\sim_{\!\pi\,}y$ vtedy a len vtedy ak existuje prirodzené číslo $n$ také, že

$(\underbrace{\pi\circ\pi\circ\ldots\circ\pi}_{n})(x)=\pi^{n}(x)=y$.

Relácia $\sim_{\!\pi\,}$ je ekvivalencia. Ak je množina $A$ konečná, triedy ekvivalencie relácie $\sim_{\!\pi\,}$ sa nazývajú cykly permutácie $\pi$.

Pozri aj

• Grupa
• Dismutácia