Logaritmus

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Graf prirodzeného logaritmu y=loge x, inak zapísané y = ln x

Logaritmus alebo logaritmická funkcia (pri základe a) je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii (s tým istým základom).

Logaritmom čísla x pri základe a teda nazývame v matematike také číslo y, pre ktoré platí:

x = a^y \,

a označujeme ho symbolicky

y = \log _a x \,,

kde a > 0, a ≠ 1, x > 0. Funkciu

y = \log _a x\,

kde x > 0, potom nazývame logaritmickou funkciou so základom a. Definičný obor funkcie je interval \left(0; \infty\right), obor hodnôt tvoria všetky reálne čísla.

Funkcia je:

  • klesajúca, ak a \in \left(0,1\right)
  • rastúca, ak a \in \left(1,\infty\right)

Graf logaritmickej funkcie nazývame logaritmická krivka; prechádza bodmi \left[ 1; 0 \right] a \left[ a; 1\right].

Konštanta a sa nazýva základ logaritmu. Logaritmus o základe 10 sa nazýva dekadický logaritmus (prípadne desiatkový, alebo Briggsov podľa matematika Henryho Briggsa). V prípade dekadického logaritmu sa v zápise vynecháva základ a zapisuje sa ako

y = \log x

Ďalším (v matematike pravdepodobne najpoužívanejším) prípadom je logaritmus o základe e (Eulerovo číslo). Tento sa nazýva prirodzený logaritmus (niekedy tiež Napierov podľa matematika Johna Napiera) a používa sa skrátený zápis

y = \ln x

Hlavne v informatike sa objavuje logaritmus o základe 2, nazývaný binárny logaritmus, ktorý sa skrátene zapisuje:

y = \lg x

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Pre a, x, y > 0, a \neq 1, r \in \mathbb{R} platí:

  • \log _a a^x = a^{\log _a x} = x,
  • \log _a x + \log _a y = \log _a xy, \,
  • \log _a x - \log _a y = \log _a \frac{x}{y}
  • \log _a x^r = r \log _a x \,
  • \log _a x = \frac{\log _b x}{\log _b a}, kde b > 0, b \neq 1