Cayleyho-Hamiltonova veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Cayleyho-Hamiltonova veta (pomenovaná podľa Arthura Cayleyho a Williama Rowana Hamiltona) je v lineárnej algebre veta, ktorá hovorí, že každá štvorcová matica je koreňom svojho charakteristického polynómu, teda platí:

\chi_A\left(A\right) = 0.

Pomocné pojmy[upraviť | upraviť zdroj]

Definujme pojem mocniny štvorcovej matice A\,\! (A \in M_{n,n}) nasledovne:

A^0 = I_n\,\!, kde I_n\,\! je jednotková matica z M_{n,n}\,\!

Indukčne definujme: A^{n+1} = A^n \cdot A


Charakteristický polynóm \chi_A(t)\,\! je definovaný pre ľubovoľnú A \in M_{n,n} nasledovne: \chi_A(t) = det(tI_n - A)\,\!, kde \lambda je jeho koreňom práve vtedy, ak je vlastnou hodnotou A\,\!.

Formulácia vety[upraviť | upraviť zdroj]

Nech A\,\! je štvorcová matica a jej charakteristický polynóm \chi_A(t) = \sum_{i = 0}^n a_it^i, pre vhodné koeficienty a_i. Potom \sum_{i = 0}^n a_iA^i = \begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}


Neformálne: \chi_A(A) = 0\,\!.

Využitie[upraviť | upraviť zdroj]

Najdôležitejšim dôsledkom Cayleyho-Hamiltonovej vety je, že charakteristický polynóm je násobkom minimálneho polynómu danej štvorcovej matice A\,\!.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]