Cayleyho-Hamiltonova veta

Cayleyho-Hamiltonova veta (pomenovaná podľa Arthura Cayleyho a Williama Rowana Hamiltona) je v lineárnej algebre veta, ktorá hovorí, že každá štvorcová matica je koreňom svojho charakteristického polynómu, teda platí:

$\chi_A\left(A\right) = 0.$

Pomocné pojmy

Definujme pojem mocniny štvorcovej matice $A\,\!$ ($A \in M_{n,n}$) nasledovne:

$A^0 = I_n\,\!$, kde $I_n\,\!$ je jednotková matica z $M_{n,n}\,\!$

Indukčne definujme: $A^{n+1} = A^n \cdot A$

Charakteristický polynóm $\chi_A(t)\,\!$ je definovaný pre ľubovoľnú $A \in M_{n,n}$ nasledovne: $\chi_A(t) = det(tI_n - A)\,\!$, kde $\lambda$ je jeho koreňom práve vtedy, ak je vlastnou hodnotou $A\,\!$.

Formulácia vety

Nech $A\,\!$ je štvorcová matica a jej charakteristický polynóm $\chi_A(t) = \sum_{i = 0}^n a_it^i$, pre vhodné koeficienty $a_i$. Potom $\sum_{i = 0}^n a_iA^i = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$

Neformálne: $\chi_A(A) = 0\,\!$.

Využitie

Najdôležitejšim dôsledkom Cayleyho-Hamiltonovej vety je, že charakteristický polynóm je násobkom minimálneho polynómu danej štvorcovej matice $A\,\!$.

Externé odkazy

• dôkaz z PlanetMath (angl.)