Diskriminant (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Diskriminant prislúchajúci polynómu je číslo, ktoré je súčasťou riešenia, respektíve hľadania koreňov polynómu. Diskriminantom sa zväčša myslí diskriminant kvadratickej rovnice. Diskriminanty polynómov vyšších rádov než kvadratických sú obťažne na zapamätanie pre svoj zložitý predpis.

Nech je daná kvadratická rovnica vo všeobecnom tvare ax^2+bx+c=0. Jej diskriminant je číslo D dané predpisom

D=b^2-4ac\,;\;a,b,c\in\mathbb{R},a\ne0

Diskriminant a korene kvadratického polynómu[upraviť | upraviť zdroj]

Hodnota diskriminantu veľa napovie o charaktere koreňov. Môžu nastať tri situácie, kde diskriminant nadobúda kladnú, zápornú alebo nulovú hodnotu. Ak je diskriminant kladný, korene polynómu môžeme písať v tvare

D>0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

V prípade záporného diskriminantu sú korene kvadratického polynómu komplexné čísla, pričom jeden koreň je komplexne združený k druhému, teda

D<0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{|D|}}{2a}

Teda ak sa predpokladá záporný diskriminant, vzorec pre korene možno jednoducho odvodiť z vlastností imaginárnej jednotky nasledovne
\frac{-b\pm\sqrt{-|D|}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{\mathrm{i}^2|D|}}{2a}=\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{|D|}}{2a}

V poslednom prípade nulového diskriminantu ide o jeden dvojnásobný koreň

D=0\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}

Odvodenie vzťahu pre diskriminant[upraviť | upraviť zdroj]

Odvodenie vychádza z jednoduchej úpravy na úplný štvorec a v osamostatnení neznámej x

\begin{array}{rcl}
ax^2+bx+c&=&0\\
4a^2x^2+4abx+4ac&=&0\\
(2ax+b)^2-b^2+4ac&=&0\\
(2ax+b)^2&=&D\\
|2ax+b|&=&\sqrt{D}\\
x_{1,2}&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
\end{array}