Kvadratická rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Graf kvadratickej funkcie
y = x2x − 2 = (x + 1)(x − 2)
x-ové hodnoty bodov, kde graf pretína os x , x = −1 a x = 2, sú koreňmi (výsledkami) kvadratickej rovnice
x2x − 2 = 0 .

Kvadratická rovnica alebo algebrická rovnica druhého stupňa je matematická rovnica, ktorá má nasledujúci všeobecný tvar:

a_1 x_1^2+a_2 x_2^2+...+b_1 x_1 + b_2 x_2+...+c=0

Kvadratická rovnica v užšom zmysle je kvadratická rovnica len s jednou neznámou.

Kvadratická rovnica s jednou neznámou[upraviť | upraviť zdroj]

Kvadratická rovnica s jednou neznámou je najbežnejší prípad kvadratickej rovnice. Má všeobecný vzorec:

ax^2 + bx + c = 0

Člen a nazývame kvadratický člen, b lineárny člen a c absolútny člen, pričom a ≠ 0 . Ak a = 0, výsledok je lineárna rovnica.

Diskriminant kvadratickej rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Diskriminant kvadratickej rovnice určíme podľa vzorca

D = b^2 - 4ac

Ak je diskriminant väčší ako 0 a všetky členy patria do množiny reálnych čísel, rovnica má dva reálne korene. Ak sa diskriminant rovná 0, rovnica má jeden dvojnásobný koreň a ak je diskriminant menší ako 0, rovnica nemá v množine reálnych čísel riešenie, má však riešenie v množine komplexných čísel.

Riešenie kvadratickej rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Riešenie kvadratickej rovnice pomocou diskriminantu udáva vzorec

x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}

V prípade, že diskriminant sa rovná 0, kvadratická rovnica má jedno riešenie a z oboru reálnych čísel.

Ak je diskriminant väčší ako nula, riešením sú dve reálne čísla.

Ak je diskriminant menší ako nula, riešením rovnice sú dve združené komplexné čísla.

Ak je riešením kvadratickej rovnice reálne číslo, geometrickou interpretáciu je priesečník paraboly s osou x.

Praktické uplatnenie[upraviť | upraviť zdroj]

Napriek tomu, že niekedy je riešením kvadratickej rovnice imaginárne číslo, toto riešenie vyjadruje fyzikálnu realitu, napríklad striedavý prúd, kde reálna zložka je činný výkon a imaginárna zložka je jalový výkon.

Kvadratickú rovnicu je možné vyriešiť pomocou rozkladu:

Príklad 1:

3x^2 + 6x - 9 = 0 /:3
x^2 + 2x - 3 =0
-b = x_1 + x_2
c = x_1 . x_2

Dosadzujeme hodnoty, ktoré vyhovujú:

-2 = -3 + 1;
-3 = -3 . 1
(x + 3)(x - 1)=0
x_1 = -3
x_2 = 1

Skúška:

x_1: 27 - 18 - 9 = 0
x_2: 3 + 6 - 9 = 0

Kvadratická rovnica má v tomto prípade korene x_1 = -3 a x_2 = 1.


Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]