Exponenciálne rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Exponenciálne rozdelenie (iné názvy: exponenciálne pravdepodobnostné rozdelenie, exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Exponenciálne rozdelenie vyjadruje čas medzi náhodne sa vyskytujúcimi udalosťami. Využíva sa napríklad v poistnej matematike pri určovaní (pravdepodobnostného) rozdelenia výšky poistného plnenia alebo času medzi nastatiami poistných udalostí, ďalej napríklad vo fyzike pri modelovaní času rádioaktívneho rozpadu, či v systémoch hromadnej obsluhy.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Spojitá náhodná premenná X má exponenciálne rozdelenie s parametrom \lambda > 0 práve vtedy, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

f_{X}(x) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} &; x \ge 0, \\
0 &; x < 0.
\end{cases}

Označujeme:

  • \operatorname X \sim Exp(\lambda)

Základné charakteristiky rozdelenia[upraviť | upraviť zdroj]

Stredná hodnota:

E[X] = \frac{1}{\lambda}

Rozptyl:

D[X] = \frac{1}{\lambda^2}

Koeficient šikmosti:

\operatorname\gamma_{1} = 2

Momentová vytvárajúca funkcia:

m(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}
pre t < \lambda

Distribučná funkcia:


F(x) = \begin{cases}
1-e^{-\lambda x} &; x \ge 0, \\
0 &; x < 0.
\end{cases}

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA : Vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150.
  • PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.
  • SKŘIVÁNKOVÁ, Valéria. Pravdepodobnosť a štatistika [online]. Košice : Univerzita Pavla Jozefa Šafárika, 2003-07-11, [cit. 2012-01-29]. Dostupné online.