Exponenciálne rozdelenie

Exponenciálne rozdelenie (iné názvy: exponenciálne pravdepodobnostné rozdelenie, exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Exponenciálne rozdelenie vyjadruje čas medzi náhodne sa vyskytujúcimi udalosťami. Využíva sa napríklad v poistnej matematike pri určovaní (pravdepodobnostného) rozdelenia výšky poistného plnenia alebo času medzi nastatiami poistných udalostí, ďalej napríklad vo fyzike pri modelovaní času rádioaktívneho rozpadu, či v systémoch hromadnej obsluhy.

Definícia

Spojitá náhodná premenná $X$ má exponenciálne rozdelenie s parametrom $\lambda > 0$ práve vtedy, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f_{X}(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} &; x \ge 0, \\ 0 &; x < 0. \end{cases}$

Označujeme:

• $\operatorname X \sim Exp(\lambda)$

Základné charakteristiky rozdelenia

Stredná hodnota:

$E[X] = \frac{1}{\lambda}$

Rozptyl:

$D[X] = \frac{1}{\lambda^2}$

Koeficient šikmosti:

$\operatorname\gamma_{1} = 2$

Momentová vytvárajúca funkcia:

$m(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}$

Distribučná funkcia:

$F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x} &; x \ge 0, \\ 0 &; x < 0. \end{cases}$

Zdroje

• ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA : Vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150. (slovenčina)
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261. (slovenčina)
• SKŘIVÁNKOVÁ, Valéria. Pravdepodobnosť a štatistika [online]. Košice : Univerzita Pavla Jozefa Šafárika, 2003-07-11, [cit. 2012-01-29]. Dostupné online. (slovenčina)