Gaussov integrál

Graf ƒ(x) = e^−x2 a plochy medzi funkciou a osou x; táto plocha sa rovná $\scriptstyle {\sqrt {\pi }}$

Gaussov integrál (iné názvy: Eulerov-Poissonov integrál, Poissonov integrál) je integrál Gaussovej funkcie e^−x2 cez celú reálnu os, teda

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Meno tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovej funkcie

$Y=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x$

upravíme zámenou premennej a vynásobením, takže dostaneme

$Y^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})}\mathrm {d} x\mathrm {d} y.$

Po prechode k polárnym súradniciam možno predchádzajúci vzťah zapísať ako

$Y^{2}=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\infty }\rho \mathrm {e} ^{-\rho ^{2}}\mathrm {d} \rho =\pi$

Odtiaľ dostaneme

$Y={\sqrt {\pi }}$

Referencie

Literatúra

• Kvasnica J. Matematický aparát fyziky. 1. vyd. Praha: Academia, 1989, ISBN 80-200-0088-7

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Gaussův integrál na českej Wikipédii.