Gaussov integrál

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Graf ƒ(x) = ex2 a plochy medzi funkciou a osou x; táto plocha sa rovná  \scriptstyle\sqrt{\pi}

Gaussov integrál (iné názvy: Eulerov-Poissonov integrál, Poissonov integrál)[1] je integrál Gaussovej funkcie ex2 cez celú reálnu os, teda

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.

Meno tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet[upraviť | upraviť zdroj]

Integrál Gaussovej funkcie

Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x

upravíme zámenou premennej a vynásobením, takže dostaneme

Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y.

Po prechode k polárnym súradniciam možno predchádzajúci vzťah zapísať ako

Y^2 = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^\infty \rho \mathrm{e}^{-\rho^2} \mathrm{d}\rho = \pi

Odtiaľ dostaneme

Y = \sqrt{\pi}

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Kvasnica J. Matematický aparát fyziky. 1. vyd. Praha: Academia, 1989, ISBN 80-200-0088-7

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Gaussův integrál na českej Wikipédii.